7. Sınıf Matematik · Geometrik Nicelikler (1)
Dikdörtgenler Prizmasının Hacim Bağıntısını Elde Etme
- hacim
- dikdörtgenler prizması
- birim küp
- taban alanı
- ayrıt
- yükseklik
Dikdörtgenler prizmasının hacmi nasıl hesaplanır?
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpılmasıyla bulunur: hacim = taban alanı × yükseklik = a × b × c. Ayrıt uzunluklarının her biri 1 birim olan küplere birim küp denir; bir prizmanın içini boşluk kalmadan dolduran birim küp sayısı prizmanın hacmidir. Tabana dizilen birim küp sayısı taban alanını, üst üste konan katman sayısı ise yüksekliği verir, bu yüzden küpleri tek tek saymaya gerek kalmaz. Örneğin ayrıtları 6 br, 4 br ve 5 br olan prizmanın hacmi 6 × 4 × 5 = 120 br³'tür. Üç uzunluk çarpıldığı için hacim birimi br³ (birimküp) olarak yazılır. Küpün bütün ayrıtları eşit olduğundan ayrıtı a olan küpün hacmi a × a × a = a³ olur. Bilinmeyen bir ayrıt ters işlemle bulunur: hacim 60 cm³, taban alanı 12 cm² ise yükseklik 60 ÷ 12 = 5 cm'dir. Hacim, dış yüzeyi kaplayan yüzey alanı değil, cismin içini dolduran miktardır.
Dikdörtgenler Prizmasının Hacim Bağıntısını Elde Etme: konu anlatımı ve özeti
Bir prizmanın içine kaç birim küp sığdığını tek tek saymadan bulabilirsin. Bu konu, birim küplerden yola çıkarak dikdörtgenler prizmasının hacim formülünü keşfetmeyi anlatır.
- Tabana dizilen birim küp sayısı taban alanını, üst üste konan katman sayısı yüksekliği verir.
- Hacim = taban alanı × yükseklik = a × b × c şeklinde bulunur.
- Örnek: Ayrıtları 6 br, 4 br ve 5 br olan prizmanın hacmi 6 × 4 × 5 = 120 br³'tür.
Ayrıtları 6, 4 ve 5 birim olan prizma: tabanda 6 × 4 = 24 birim küp, üst üste 5 katman, toplam 120 birim küp - Üç uzunluk çarpıldığı için hacim birimi br³ (birimküp) olarak yazılır.
- Küpün bütün ayrıtları eşit olduğundan ayrıtı a olan küpün hacmi a × a × a = a³ olur.
- Hacim ve bir ayrıt bilinmiyorsa ters işlemle bulunur: hacim 60 cm³, taban alanı 12 cm² ise yükseklik 60 ÷ 12 = 5 cm'dir.
Unutma: Hacim, yüzey alanıyla karıştırılmamalı; hacim içini doldurmayı, yüzey alanı dışını kaplamayı anlatır.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Önce temeli pekiştir
Hacmi tek tek küp saymadan bulmak için prizmayı katlar hâlinde düşün.
- Tabana kaç küp sığdığını bul: 5 sıra ve her sırada 3 küp varsa tabanda 5 × 3 = 15 küp vardır.
- Kaç kat olduğunu bul: yükseklik 4 ise 4 kat vardır.
- Bir kattaki küp sayısını kat sayısıyla çarp: 15 × 4 = 60 birimküp.
Ters soru da aynı mantıkla çözülür: Hacim 72 cm³ ve taban 4 cm × 3 cm ise taban alanı 12 cm², yükseklik 72 ÷ 12 = 6 cm olur.
Günlük hayattan: Bir koli içine süt kutuları dizilirken önce taban sırası doldurulur, sonra üst üste katlar konur.
Sık yapılan hata: Ayrıt uzunluklarını toplamak: 5 + 3 + 4 = 12. Doğrusu: Hacim için üç ayrıt çarpılır.
Derinleş
Sınıfının uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini metreyle ölç ve sınıfın hacmini yaklaşık olarak hesapla. Sınıftaki kişi sayısına bölerek kişi başına düşen hava miktarını bul. Kalabalık bir sınıfta derslerin arasında pencereleri açmak neden önemlidir? Fen Bilimleri dersindeki solunum bilgisiyle ilişkilendirerek bir öneri yaz.
Öğrenme çıktıları
Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.
MAT.7.4.4Dikdörtgenler prizmasının hacim bağıntısını değerlendirebilme
- a) Dikdörtgenler prizmasının hacmini belirlemede ölçüt olarak birim küpleri belirler.
- b) Dikdörtgenler prizmasının hacmini belirlemek için prizmaların içine yerleştirilen birim küpleri sayar.
- c) Toplam birim küp sayısı ile dikdörtgenler prizmasının ayrıt uzunluklarını karşılaştırır.
- ç) Birim küpleri farklı stratejilerle sayarak dikdörtgenler prizmasının hacmini taban alanı ile yüksekliğin çarpımı olarak ifade eder.
Sorular
Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.
Kolay
1Defne, şekildeki gibi bir ayrıtı 3 cm olan küp biçimindeki bir kalıbı eritilmiş mumla tamamen dolduracak. Ne kadar mum gerektiğini kalıbın hacminden hesaplıyor. Kalıbın hacmi kaç cm³'tür?
- A) 9
- B) 27
- C) 54
- D) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 27
Küpün hacmi ayrıtın 3 kez kendisiyle çarpımıdır: 3 × 3 × 3 = 27 cm³. 9 seçeneği yalnızca bir yüzün alanını (3 × 3) bulmaktan, 54 ise yüzey alanını (6 × 9) hesaplamaktan doğar.
Kolay
2Okul laboratuvarındaki hacim setinde, öğrencilerin bir cismin hacmini sayarak bulmasını sağlayan küçük ölçü parçaları var. Öğretmen bu parçalardan birini gösterip "Bu bir birim küptür." diyor. Birim küp aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Bütün ayrıtları 1 birim olan küp
- B) Bütün yüzleri 1 birim olan prizma
- C) Hacmi 1 litreden az olan küp
- D) Ayrıtları 10 birim olan küp
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Bütün ayrıtları 1 birim olan küp
Birim küp, her ayrıtının uzunluğu 1 birim olan küptür; hacmi 1 birimküptür ve hacim ölçmede ölçüt olarak kullanılır. "Yüzleri 1 birim" ifadesi uzunluk ile alanı karıştırır; hacmi 1 litreden az olan küplerin ayrıtları farklı olabilir.
Kolay
3Bir öğrenci, bir prizma biçimindeki kutunun tabanına şekildeki gibi 12 birim küp diziyor. Bu katmandan üst üste 5 tane yerleştirdiğinde kutu tamamen doluyor. Kutunun hacmi kaç birimküptür?
- A) 17
- B) 60
- C) 24
- D) 72
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 60
Her katmanda 12 birim küp vardır ve 5 katman bulunur: 12 × 5 = 60 birimküp. Bu, hacmin taban alanı ile yüksekliğin çarpımı olduğunu gösterir. 17 seçeneği katman sayısını eklemekten doğar.
Kolay
4Bir oyuncak sandığı, şekilde görüldüğü gibi ayrıtları 6 br, 4 br ve 5 br olan bir dikdörtgenler prizmasıdır. Can, sandığı birim küplerle boşluk kalmadan doldurursa kaç küp kullanacağını hesaplıyor. Sandığın hacmi kaç birimküptür?
- A) 15
- B) 120
- C) 74
- D) 100
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 120
Hacim, ayrıt uzunluklarının çarpımıdır: 6 × 4 × 5 = 120 birimküp. 15 seçeneği ayrıtları toplamaktan, 74 ise yüzey alanının yarısını (24 + 30 + 20) bulmaktan doğar.
Kolay
5Ceren, ayrıt uzunlukları a, b ve c olan bir dikdörtgenler prizmasının içine kaç birim küp sığdığını formülle bulmak istiyor. Ceren'in kullanması gereken ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) a + b + c
- B) 2 · (a · b + a · c + b · c)
- C) 4 · (a + b + c)
- D) a · b · c
Cevabı göster
Doğru cevap: D) a · b · c
Hacim, taban alanı (a · b) ile yüksekliğin (c) çarpımıdır. 2 · (a · b + a · c + b · c) ifadesi yüzey alanını verir.
Kolay
6Taban ayrıtları 6 br ve 3 br olan bir kutuya birim küplerden 2 katman yerleştirilmiştir. 3 katman daha yerleştirilince kutu tamamen doluyor. Kutunun hacmi kaç br³'tür?
- A) 36
- B) 54
- C) 45
- D) 90
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 90
Her katmanda 6 × 3 = 18 küp vardır; toplam 2 + 3 = 5 katmanda 18 × 5 = 90 küp olur. 54, yalnızca eklenen 3 katmanı saymaktan gelir.
Kolay
7Bir prizma biçimindeki kutu, birim küplerden oluşan eş katmanlarla dolduruluyor. Kutu 3 katmanda tamamen doluyor ve toplam 36 birim küp kullanılıyor. Her katmanda kaç birim küp vardır?
- A) 33
- B) 108
- C) 12
- D) 9
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 12
Toplam küp sayısı katman sayısına bölünür: 36 ÷ 3 = 12. 108, bölmek yerine çarpmaktan gelir.
Kolay
8Aşağıda ayrıt uzunlukları verilen dikdörtgenler prizmalarından hangisinin hacmi en büyüktür?
- A) 2 br, 3 br, 10 br
- B) 5 br, 2 br, 6 br
- C) 4 br, 4 br, 4 br
- D) 3 br, 3 br, 7 br
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 4 br, 4 br, 4 br
Hacimler sırasıyla 64, 60, 60 ve 63 br³'tür; en büyüğü 64 br³ ile küptür. Ayrıtlarından biri en uzun olan prizmanın hacmi en büyük olmak zorunda değildir.
Kolay
9Mehmet bir prizmanın hacmini 3 · (4 · 5) biçiminde, Ceren ise aynı prizmanın hacmini (3 · 4) · 5 biçiminde hesaplıyor. Bu hesaplamalarla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Mehmet'in sonucu daha büyük çıkar, çünkü önce büyük sayıları çarpmıştır.
- B) İki hesaplama aynı sonucu verir, çünkü çarpmanın sırası sonucu değiştirmez.
- C) Ceren'in sonucu daha büyük çıkar, çünkü önce küçük sayıları çarpmıştır.
- D) İki hesaplamadan yalnız biri prizmanın hacmini doğru verir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) İki hesaplama aynı sonucu verir, çünkü çarpmanın sırası sonucu değiştirmez.
İki işlem de 60 br³ sonucunu verir; hangi yüz taban seçilirse seçilsin hacim aynıdır. Çarpma sırasının sonucu etkilediğini düşünmek bir yanılgıdır.
Kolay
10Defne, ayrıt uzunlukları 7 br, 3 br ve 2 br olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kutuyu birim küplerle boşluk kalmadan dolduracak. Defne'nin kullanacağı birim küp sayısı kaçtır?
- A) 42
- B) 12
- C) 21
- D) 84
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 42
Hacim üç ayrıtın çarpımıdır: 7 × 3 × 2 = 42 birim küp. 12, ayrıt uzunluklarını toplamaktan gelir.
Kolay
11Bir marangoz, hacmi 72 br³ olacak bir dikdörtgenler prizması biçiminde kutu yapacak. Kutunun ayrıt uzunlukları aşağıdakilerden hangisi olabilir?
- A) 3 br, 4 br, 5 br
- B) 2 br, 4 br, 9 br
- C) 2 br, 6 br, 5 br
- D) 4 br, 4 br, 4 br
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2 br, 4 br, 9 br
2 × 4 × 9 = 72'dir. Diğer seçeneklerde çarpımlar 60, 60 ve 64 olur.
Kolay
12Ece, hediye kutusunun içine kaç birim küp sığacağını bulmak istiyor. Ece'nin kutunun hangi niceliğini hesaplaması gerekir?
- A) Hacmini
- B) Yüzey alanını
- C) Taban çevresini
- D) Bir yan yüzünün alanını
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Hacmini
Bir kutunun içini dolduran birim küp sayısı hacmidir. Yüzey alanı ise kutunun dışını kaplamak için gereken miktarı anlatır.
Kolay
13Can, ayrıt uzunlukları birim (br) cinsinden verilen bir dikdörtgenler prizmasının hacmini hesaplamış ama birimini yazmayı unutmuştur. Can'ın sonucun yanına yazması gereken birim aşağıdakilerden hangisidir?
- A) br
- B) br³
- C) br²
- D) br⁴
Cevabı göster
Doğru cevap: B) br³
Hacim hesaplanırken üç uzunluk çarpıldığından birim br³ (birimküp) olur. br² alan birimidir.
Kolay
14Bir çiçek saksısı dikdörtgenler prizması biçimindedir. Saksının taban alanı 20 cm², yüksekliği 7 cm'dir. Saksının hacmi kaç cm³'tür?
- A) 27
- B) 70
- C) 280
- D) 140
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 140
Hacim = taban alanı × yükseklik = 20 × 7 = 140 cm³. 27, taban alanı ile yüksekliği toplamaktan gelir.
Kolay
15Ahmet, Ceren ve Mehmet aynı dikdörtgenler prizmasını birim küplerle dolduruyor. Her biri prizmanın farklı bir yüzünü taban seçip katmanlar oluşturuyor. Üç öğrencinin kullandığı toplam birim küp sayıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Tabanı en büyük yüz seçen en çok küpü kullanır.
- B) Katman sayısı en çok olan en çok küpü kullanır.
- C) Üç yöntemde de aynı sayıda birim küp kullanılır.
- D) Her yöntemde farklı sayıda birim küp kullanılır.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Üç yöntemde de aynı sayıda birim küp kullanılır.
Hangi yüz taban seçilirse seçilsin prizmanın içi aynıdır; toplam birim küp sayısı yani hacim değişmez. Katman sayısı artarken her katmandaki küp sayısı azalır.
Kolay
16Zeynep, ayrıtı a birim olan bir küpün hacmini veren ifadeyi yazmak istiyor. Zeynep'in yazması gereken ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) a · a · a
- B) 3 · a
- C) 6 · a · a
- D) 12 · a
Cevabı göster
Doğru cevap: A) a · a · a
Küpün bütün ayrıtları eşit olduğundan hacmi a · a · a = a³ olur. 6 · a · a küpün yüzey alanını verir.
Kolay
17Elif, dikdörtgenler prizması biçimindeki boş bir kutunun içine birim küpleri yalnız bir köşeden çıkan üç ayrıt boyunca diziyor. Uzunluk boyunca 5, genişlik boyunca 3, yükseklik boyunca 4 birim küp sığıyor (köşedeki küp her dizide sayılmıştır). Kutu birim küplerle boşluk kalmadan doldurulursa kaç birim küp gerekir?
- A) 10
- B) 12
- C) 47
- D) 60
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 60
Ayrıtlar boyunca dizilen birim küpler ayrıt uzunlukları hakkında bilgi verir: kutunun ayrıtları 5 br, 3 br ve 4 br'dir. Hacim = (5 · 3) · 4 = 15 · 4 = 60 birim küp. 12, üç sayının toplanmasıyla (5 + 3 + 4); 10, köşedeki küp iki kez çıkarılarak dizilen küplerin sayılmasıyla (5 + 3 + 4 − 2); 47 ise üç farklı yüzün alanlarının toplanmasıyla (15 + 20 + 12) bulunur.
Kolay
18Mehmet, ayrıtları 5 br, 4 br ve 3 br olan bir kutunun hacmini (5 · 4) · 3 biçiminde hesaplıyor. Kutunun tabanı, 5 br ve 4 br'lik ayrıtların oluşturduğu yüzdür. Bu işlemdeki 5 · 4 çarpımı, kutu birim küplerle doldurulurken neyi gösterir?
- A) Kutunun yüksekliği boyunca üst üste konan katman sayısını
- B) Tabana dizilen bir katmandaki birim küp sayısını
- C) Kutunun bütün yüzlerini kaplayan birim karelerin sayısını
- D) Tabanın çevresi boyunca dizilen birim küp sayısını
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Tabana dizilen bir katmandaki birim küp sayısını
Tabana 5 sıra hâlinde 4'er (ya da 4 sıra hâlinde 5'er) birim küp dizilir; 5 · 4 = 20, bir katmandaki birim küp sayısıdır ve taban alanını verir. Bu katmandan yükseklik boyunca 3 tane konur; katman sayısı 3'tür. Bütün yüzleri kaplayan birim kareler yüzey alanıyla, çevre boyunca dizilen küpler ise çevre uzunluğuyla ilgilidir.
Orta
19Bir çiçekçi, şekildeki gibi taban alanı 12 cm² olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir saksıya 60 cm³ toprak koyuyor ve saksı tam doluyor. Saksının yüksekliği kaç cm'dir?
- A) 5
- B) 48
- C) 72
- D) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 5
Hacim = taban alanı × yükseklik olduğundan yükseklik 60 ÷ 12 = 5 cm'dir. 48 seçeneği hacimden taban alanını çıkarmaktan, 72 ise ikisini toplamaktan doğar.
Orta
20Bir buz kalıbında, şekildeki gibi küp biçiminde ve hacmi 64 cm³ olan buzlar donuyor. Barış, bir buz küpünün kenar uzunluğunu bulup bardağın ağzından geçip geçmeyeceğini anlamak istiyor. Buz küpünün bir ayrıtı kaç cm'dir?
- A) 8
- B) 16
- C) 4
- D) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 4
Küpün hacmi ayrıtın üç kez kendisiyle çarpımıdır; 4 × 4 × 4 = 64 olduğundan ayrıt 4 cm'dir. 8 seçeneği 8 × 8 = 64 çarpımından yola çıkıp küpü kare gibi düşünmekten doğar.
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.