Doğrusal, Karesel, Karekök ve Rasyonel Fonksiyonların Ters Fonksiyonları

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

• MAT.10.4.5Doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonlar ile bu fonksiyonlardan

  • a) Referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilebilen fonksiyonlar üzerinden bir fonksiyonun ters fonksiyonuna ilişkin varsayımlarda bulunur.
  • b) Varsayımlarından yararlanıp farklı durumlarla ilgili örüntüleri listeleyerek referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların ters fonksiyonlarına ilişkin genellemeler yapar.
  • c) Referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların ters fonksiyonlarıyla ilişkisine dair varsayımları ile genellemelerini karşılaştırır.
  • ç) Referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların ters fonksiyon ilişkisine ait önermeleri matematiksel olarak doğrulanabilecek şekilde sunar.
  • d) Referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların ters fonksiyonlarına ait elde edilen önermeleri fonksiyonların nitel özellikleri bağlamında değerlendirir.

1. Kolay

   1Bir okulda her öğrenciye bir dolap veriliyor; öğrenciden dolaba giden eşleme f ile gösteriliyor. Yönetim, bir dolap numarasından o dolabın sahibini de kesin olarak bulabilmek, yani f'yi tersine çevirip yine bir fonksiyon elde etmek istiyor. f'nin tersinin de fonksiyon olması için f hangi özelliği taşımalıdır?

   • AA) Yalnızca artan olmalıdır.
   • BB) Yalnızca örten olmalıdır.
   • CC) Yalnızca çift fonksiyon olmalıdır.
   • DD) Tanım kümesi sonsuz olmalıdır.
   • EE) Bire bir ve örten olmalıdır.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) Bire bir ve örten olmalıdır.

   Ters eşlemenin fonksiyon olması için her dolap tam olarak bir öğrenciye ait olmalıdır: iki öğrenci aynı dolabı paylaşmamalı (bire bir) ve boş dolap kalmamalıdır (örten). Yalnızca örtenlik yetmez; iki öğrenci aynı dolabı paylaşırsa dolap numarasından tek bir sahip bulunamaz.

   Hata mı var? Düzeltme öner

2. Kolay

   2Selin, grafik uygulamasında bir f fonksiyonu ile ters fonksiyonu f⁻¹'in grafiklerini aynı ekranda çiziyor. f'nin grafiği üzerinde (1, 4) noktasını işaretlediğinde f⁻¹'in grafiği üzerinde (4, 1) noktasının yer aldığını görüyor. Bu iki grafik hangi doğruya göre simetriktir?

   • AA) y = −x
   • BB) x ekseni
   • CC) y ekseni
   • DD) y = x
   • EE) y = 1
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) y = x

   f'nin grafiğindeki her (a, b) noktasına f⁻¹'in grafiğinde (b, a) noktası karşılık gelir ve bu iki nokta y = x doğrusuna göre simetriktir. y = −x seçeneği yanlıştır; (1, 4) noktasının y = −x'e göre simetriği (−4, −1)'dir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

3. Kolay

   3Bir hava durumu uygulaması Celsius cinsinden sıcaklığı Fahrenheit'a çeviren f fonksiyonunu kullanıyor; f bire bir ve örtendir. Uygulamanın kayıtlarında f(30) = 86 olduğu görülüyor. Fahrenheit'tan Celsius'a çeviren f⁻¹ fonksiyonu için f⁻¹(86) kaçtır?

   • AA) 86
   • BB) 1/30
   • CC) 1/86
   • DD) 30
   • EE) 56
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) 30

   f(a) = b ise f⁻¹(b) = a'dır; 30 °C 86 °F'ye karşılık geldiğinden f⁻¹(86) = 30'dur. 1/30 seçeneği, f⁻¹ gösterimindeki −1 üssünü bir sayının çarpmaya göre tersi sanmaktan doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

4. Kolay

   4Bir bisiklet kiralama uygulaması, x saatlik kullanım için f(x) = 20x + 80 TL ücret alıyor. Uygulamaya, kullanıcının ödediği tutardan kaç saat kullandığını hesaplayan bir özellik eklenecek. Bu özelliğin kullanacağı ters fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) f⁻¹(x) = (x − 80)/20
   • BB) f⁻¹(x) = (x + 80)/20
   • CC) f⁻¹(x) = 20x − 80
   • DD) f⁻¹(x) = 1/(20x + 80)
   • EE) f⁻¹(x) = x/20 − 80
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) f⁻¹(x) = (x − 80)/20

   y = 20x + 80 ise x = (y − 80)/20'dir; x ile y yer değiştirilince f⁻¹(x) = (x − 80)/20 olur. Örneğin 140 TL ödeyen kullanıcı (140 − 80)/20 = 3 saat kullanmıştır. f⁻¹(x) = 1/(20x + 80) seçeneği, ters fonksiyonu çarpmaya göre ters (1/f) ile karıştırmaktan doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

5. Kolay

   5Bir şifreleme uygulaması bire bir ve örten bir f fonksiyonuyla çalışıyor. Uygulamanın kayıtlarında f(3) = 7 olduğu görülüyor. f⁻¹(7) kaçtır?

   • AA) 3
   • BB) 7
   • CC) 1/7
   • DD) 1/3
   • EE) −3
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) 3

   f(a) = b ise f⁻¹(b) = a'dır; f(3) = 7 olduğundan f⁻¹(7) = 3 bulunur. 1/7 cevabı, ters fonksiyonu sayının çarpma işlemine göre tersiyle karıştırmaktan doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

6. Kolay

   6Selin, grafik uygulamasında bir f fonksiyonu ile ters fonksiyonu f⁻¹'in grafiklerini aynı ekranda çiziyor ve iki grafiğin bir doğruya göre ayna görüntüsü gibi durduğunu fark ediyor. Bu doğru aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) x ekseni
   • BB) y ekseni
   • CC) y = −x doğrusu
   • DD) y = x doğrusu
   • EE) x = 1 doğrusu
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) y = x doğrusu

   Ters fonksiyonda girdi ile çıktı yer değiştirdiğinden (a, b) noktası (b, a) noktasına gider; bu iki nokta y = x doğrusuna göre simetriktir. x eksenine göre simetri yalnızca ordinatın işaretini değiştirir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

7. Kolay

   7Bir sayı makinesi, girilen sayıyı 4 ile çarpıp sonuçtan 3 çıkarıyor: f(x) = 4x − 3. Öğrenciler, makinenin çıktısından girilen sayıyı bulan ters makineyi tasarlıyor. Ters makinenin kuralı f⁻¹(x) aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) (x − 3)/4
   • BB) 4x + 3
   • CC) x/4 + 3
   • DD) 1/(4x − 3)
   • EE) (x + 3)/4
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) (x + 3)/4

   y = 4x − 3 eşitliğinde x = (y + 3)/4 bulunur, x ile y'nin yeri değiştirilince f⁻¹(x) = (x + 3)/4 olur. 1/(4x − 3), f'nin çarpma işlemine göre tersidir, ters fonksiyon değildir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

8. Kolay

   8Bire bir bir f fonksiyonunun bazı değerleri tabloda verilmiştir: x: 1, 2, 3, 4 f(x): 5, 8, 11, 14 f⁻¹(11) kaçtır?

   • AA) 1/11
   • BB) 35
   • CC) 11
   • DD) 2
   • EE) 3
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) 3

   Tabloda f(3) = 11 olduğundan f⁻¹(11) = 3'tür. 35 cevabı, tablodaki kurala (3x + 2) göre f(11) değerini hesaplamaktan doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

9. Kolay

   9Bir öğrenci, f(x) = 3x − 1 fonksiyonu için f(g(x)) = x eşitliğini sağlayan g fonksiyonunu arıyor. g(x) aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) (x − 1)/3
   • BB) 3x + 1
   • CC) x/3 − 1
   • DD) (x + 1)/3
   • EE) 1/(3x − 1)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) (x + 1)/3

   g = f⁻¹ olmalıdır: f((x + 1)/3) = (x + 1) − 1 = x. (x − 1)/3 için f(g(x)) = x − 2 çıkar, eşitlik sağlanmaz.

   Hata mı var? Düzeltme öner

10. Kolay

    10f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x) = √x fonksiyonunun tersi, x ≥ 0 için f⁻¹(x) = x² kuralıyla verilir. f⁻¹(4) kaçtır?

    • AA) 2
    • BB) 16
    • CC) 1/2
    • DD) 8
    • EE) √2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 16

    f⁻¹(4) = 4² = 16'dır; kontrol: √16 = 4. 2 cevabı f(4) = √4 değeridir, ters fonksiyonun değeri değildir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

11. Kolay

    11Bir öğretmen f(x) = (x − 3)² fonksiyonunun tersinin olabilmesi için tanım kümesinin kısıtlanması gerektiğini söylüyor. Aşağıdaki tanım kümelerinden hangisinde f bire birdir?

    • AA) R
    • BB) [0, ∞)
    • CC) [−3, ∞)
    • DD) [1, 5]
    • EE) [3, ∞)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) [3, ∞)

    Parabolün simetri ekseni x = 3'tür; yalnızca bir kolu alan [3, ∞) aralığında f bire birdir. [0, ∞) aralığında f(0) = f(6) = 9 olduğundan f bire bir değildir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

12. Kolay

    12Bir sınıfta f(x) = x + 2 fonksiyonu inceleniyor. Mehmet f⁻¹(5) değerini hesaplarken 1/f(5) = 1/7 buluyor. f⁻¹(5)'in doğru değeri kaçtır?

    • AA) 1/7
    • BB) 7
    • CC) 3
    • DD) 1/5
    • EE) −3
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 3

    f⁻¹(x) = x − 2 olduğundan f⁻¹(5) = 3'tür; kontrol: f(3) = 5. Mehmet ters fonksiyonu 1/f(x) ile karıştırmıştır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

13. Kolay

    13Bir öğrenci, x ≠ 0 için f(x) = 1/x fonksiyonunun tersini adım adım buluyor: y = 1/x yazıp x'i y cinsinden çözüyor ve sonra x ile y'nin yerini değiştiriyor. f⁻¹(x) aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) 1/x
    • BB) x
    • CC) −1/x
    • DD) x²
    • EE) −x
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 1/x

    y = 1/x ise x = 1/y'dir; yer değiştirince f⁻¹(x) = 1/x bulunur, yani bu fonksiyon kendi tersidir. x cevabı, 1/x'in tersini almanın fonksiyonu x'e dönüştürdüğü yanılgısıdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

14. Kolay

    14Bir öğrenci, f(x) = x² fonksiyonunun gerçek sayılarda tersinin olmadığını öğreniyor. Bunun nedeni aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) Görüntü kümesi tüm gerçek sayılardır.
    • BB) Farklı x değerleri aynı görüntüye sahip olabilir.
    • CC) x = 0 için fonksiyon tanımsızdır.
    • DD) Fonksiyonun grafiği bir doğrudur.
    • EE) Her x için f(x) değeri negatiftir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) Farklı x değerleri aynı görüntüye sahip olabilir.

    f(−2) = f(2) = 4 olduğu için f bire bir değildir; 4'ün hangi sayıdan geldiği belirlenemez. Fonksiyonun görüntü kümesi [0, ∞)'dur, tüm gerçek sayılar değildir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

15. Kolay

    15Bir tarif uygulaması, x gram unu bardak sayısına f(x) = x/120 kuralıyla çeviriyor. Uygulamaya, bardak sayısından gram miktarını bulan f⁻¹ özelliği ekleniyor. f⁻¹(3) kaçtır?

    • AA) 1/40
    • BB) 40
    • CC) 360
    • DD) 123
    • EE) 117
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 360

    f⁻¹(x) = 120x olduğundan f⁻¹(3) = 360 gramdır; kontrol: f(360) = 3. 1/40 cevabı f(3) = 3/120 değeridir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

16. Kolay

    16Bir mühendis f: [0, ∞) → [3, ∞) biçiminde tanımlı, bire bir ve örten bir fonksiyonun tersini programlıyor. f⁻¹ fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) [3, ∞)
    • BB) [0, ∞)
    • CC) R
    • DD) [−3, ∞)
    • EE) (−∞, 3]
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) [3, ∞)

    f'nin görüntü kümesi f⁻¹'in tanım kümesi olur; bu yüzden f⁻¹ [3, ∞) üzerinde tanımlıdır. [0, ∞), f'nin tanım kümesidir ve f⁻¹'in görüntü kümesi olur.

    Hata mı var? Düzeltme öner

17. Kolay

    17Bir şifreleme oyununda 1, 2 ve 3 sayılarının her biri bir sayıya dönüştürülüyor. Şifrenin çözülebilmesi için, dönüştürülmüş sayıdan başlangıçtaki sayıya giden ters eşlemenin de bir fonksiyon olması, yani dönüştürülmüş her sayının yalnız bir sayıdan gelmesi gerekiyor. Aşağıdaki eşlemelerden hangisinin şifresi çözülebilir?

    • AA) 1 → 5, 2 → 7, 3 → 5
    • BB) 1 → 4, 2 → 4, 3 → 4
    • CC) 1 → 6, 2 → 5, 3 → 4
    • DD) 1 → 7, 2 → 6, 3 → 7
    • EE) 1 → 5, 2 → 5, 3 → 6
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 1 → 6, 2 → 5, 3 → 4

    Ters eşlemenin fonksiyon olması için eşleme bire bir olmalıdır: farklı sayılar farklı sayılara gitmelidir. 1 → 6, 2 → 5, 3 → 4 eşlemesinde üç sonuç da birbirinden farklıdır; tersi 6 → 1, 5 → 2, 4 → 3 biçiminde bir fonksiyondur. Diğer eşlemelerde en az iki sayı aynı sonuca gider (örneğin 1 → 5 ve 3 → 5); bu durumda 5'in hangi sayıdan geldiği belirlenemez ve ters eşleme fonksiyon olmaz.

    Hata mı var? Düzeltme öner

18. Kolay

    18Bir kargo şirketinde, ağırlığı x kilogram olan paketin gönderim ücreti f(x) TL'dir; f bire bir ve örten bir fonksiyondur. Şirketin çağrı merkezindeki ekranda f⁻¹(250) = 12 bilgisi görünüyor. Bu bilgi aşağıdakilerden hangisini ifade eder?

    • AA) 12 kilogramlık paketin gönderim ücreti 1/250 TL'dir.
    • BB) Gönderim ücreti 250 TL olan paket 12 kilogramdır.
    • CC) 250 kilogramlık paketin gönderim ücreti 12 TL'dir.
    • DD) Ücret 250 TL arttığında ağırlık 12 kilogram artar.
    • EE) Paketin her kilogramı için 250/12 TL ücret alınır.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) Gönderim ücreti 250 TL olan paket 12 kilogramdır.

    f ağırlığı ücrete, f⁻¹ ise ücreti ağırlığa götürür. f⁻¹(250) = 12 eşitliği f(12) = 250 demektir: 12 kilogramlık paketin ücreti 250 TL'dir; başka bir deyişle ücreti 250 TL olan paket 12 kilogramdır. "250 kilogramlık paketin ücreti 12 TL" ifadesi f(250) = 12 anlamına gelir; f ile f⁻¹ karıştırılmıştır. 1/250 içeren ifade, ters fonksiyonun çarpmaya göre tersle karıştırılmasından gelir. Artışla ve kilogram başına ücretle ilgili ifadeler ise yalnız bu bilgiden çıkarılamaz; f'nin kuralı verilmemiştir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

19. Orta

    19Bir taksi uygulaması, yolcunun ödediği x TL'den gidilen yolu f(x) = (x − 50)/30 km olarak hesaplıyor; 50 TL açılış ücreti, kilometre başına 30 TL ücret alınıyor. Bir yolcunun 12 km yol için ödediği ücret f⁻¹(12) ile bulunuyor. f⁻¹(12) kaçtır?

    • AA) 310
    • BB) 360
    • CC) 630
    • DD) −19/15
    • EE) 410
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 410

    f⁻¹(12) = a ise f(a) = 12'dir: (a − 50)/30 = 12, a − 50 = 360 ve a = 410 TL'dir; f⁻¹(x) = 30x + 50 kuralından da 30 · 12 + 50 = 410 bulunur. −19/15 seçeneği, f⁻¹(12) yerine f(12) = (12 − 50)/30 hesaplanmasından doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

20. Orta

    20Bir mühendis, bir pompanın debisini basınç ölçümünden f: [2, ∞) → [1, ∞), f(x) = √(x − 2) + 1 kuralıyla hesaplayan bir program yazıyor. Şimdi programa tersini, yani debiden basıncı hesaplayan kuralı eklemesi gerekiyor. f'nin ters fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) f⁻¹(x) = (x − 1)² − 2, x ≥ 1
    • BB) f⁻¹(x) = (x + 1)² − 2, x ≥ −1
    • CC) f⁻¹(x) = (x − 1)² + 2, x ≥ 1
    • DD) f⁻¹(x) = (x − 2)² + 1, x ≥ 2
    • EE) f⁻¹(x) = (x − 1)² + 2, x ≥ 2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) f⁻¹(x) = (x − 1)² + 2, x ≥ 1

    y = √(x − 2) + 1 ise y − 1 = √(x − 2), (y − 1)² = x − 2 ve x = (y − 1)² + 2'dir. f'nin görüntü kümesi [1, ∞) olduğundan f⁻¹(x) = (x − 1)² + 2, x ≥ 1'dir. "x ≥ 2" koşullu seçenek, f⁻¹'in tanım kümesini f'nin tanım kümesiyle karıştırmaktan doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner