10. Sınıf Matematik · Nicelikler ve Değişimler

Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları

fonksiyon
tanım kümesi
görüntü kümesi
bire bir fonksiyon
örten fonksiyon
tek fonksiyon
çift fonksiyon
fonksiyonun sıfırı

Bir ilişkinin fonksiyon olma şartları nelerdir?

Bir ilişki, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesinde bir ve yalnız bir elemanla eşliyorsa fonksiyondur ve f: A → R biçiminde gösterilir. Tanım kümesinde eşlenmemiş eleman kalıyorsa ya da bir eleman iki farklı değerle eşleniyorsa ilişki fonksiyon değildir. Grafikte x eksenine dik çizilen her doğru grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa grafik bir fonksiyona aittir. Görüntü kümesi değer kümesine eşitse fonksiyon örten, farklı elemanların görüntüleri farklıysa bire birdir. f(−x) = f(x) koşulunu sağlayan çift fonksiyonun grafiği y eksenine göre, f(−x) = −f(x) koşulunu sağlayan tek fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir. f(x) = 0 eşitliğini sağlayan değerler fonksiyonun sıfırlarıdır. Örneğin f(x) = x² − 4 fonksiyonunun sıfırları −2 ve 2'dir; fonksiyon çifttir, minimum değeri −4'tür ve f(−2) = f(2) olduğu için R'de bire bir değildir.

Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları: konu anlatımı ve özeti

Fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesinde tek bir elemanla eşleyen bir kuraldır. Bu konu, bir ilişkinin fonksiyon olup olmadığını anlamayı ve fonksiyonların temel özelliklerini incelemeyi ele alır.

Tanım: A boş olmayan bir gerçek sayı kümesi olmak üzere her x ∈ A için bir ve yalnız bir f(x) ∈ R varsa f'ye A'dan R'ye tanımlı bir fonksiyon denir ve f: A → R yazılır.
Grafikten kontrol: x eksenine dik çizilen her doğru grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa grafik bir fonksiyona aittir.
Tanım kümesindeki elemanların görüntülerinden oluşan kümeye görüntü kümesi denir. Görüntü kümesi değer kümesine eşitse fonksiyon örtendir; farklı elemanların görüntüleri farklıysa bire birdir.
f(−x) = f(x) koşulunu sağlayan fonksiyon çift fonksiyondur ve grafiği y eksenine göre simetriktir (x² gibi). f(−x) = −f(x) ise tek fonksiyondur ve grafiği orijine göre simetriktir (x³ gibi).
f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerleri fonksiyonun sıfırlarıdır; bir aralıktaki en büyük ve en küçük görüntüler maksimum ve minimum değerlerdir.
Örnek: f(x) = x² − 4 için sıfırlar −2 ve 2'dir; fonksiyon çifttir, minimum değeri −4'tür ve R'de bire bir değildir (f(−2) = f(2)).

Unutma: Tanım kümesinde eşlenmemiş bir eleman kalıyorsa ya da bir eleman iki farklı değerle eşleniyorsa bu ilişki fonksiyon değildir.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Bir eşlemenin fonksiyon olup olmadığını iki soruyla kontrol et.

Tanım kümesindeki her elemanın bir eşi var mı? Boşta kalan olmamalı.
Her elemanın tek bir eşi mi var? Bir eleman iki farklı değere gitmemeli.

Günlük hayattan: "Her öğrenciyi doğum gününe eşleyen" kural bir fonksiyondur; herkesin tek bir doğum günü vardır. İki öğrencinin aynı gün doğmuş olması bunu bozmaz. Ama "her günü o gün doğan öğrenciye eşleyen" kural fonksiyon değildir: bazı günlere kimse düşmez, bazılarına iki öğrenci düşer.

Grafikte ise x eksenine dik doğrular çiz; her doğru grafiği en fazla bir kez kesmelidir.

Sık yapılan hata: Değer kümesinde eşlenmemiş eleman kalınca fonksiyonun bozulduğunu sanmak. Doğrusu: Bu yalnızca fonksiyonun örten olmadığını gösterir; fonksiyon şartı tanım kümesi için aranır.

Derinleş

Okulundaki bilgi sistemlerinde kullanılan eşlemeleri listele: öğrenci → okul numarası, öğrenci → sınıf, ders → öğretmen, kitap → barkod gibi. Her birinin fonksiyon olup olmadığını, bire bir ve örten olup olmadığını gerekçesiyle belirle. Bilişim dersiyle bağ kur: Bir veri tabanında kayıtları ayırt etmek için kullanılan alanın neden bire bir eşleme sağlaması gerekir? Bire bir olmayan bir alan seçilseydi ne tür sorunlar çıkardı?

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.10.4.1Gerçek sayılarda fonksiyon olma şartları ile gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların
- a) Gerçek sayılarda fonksiyon olma şartları ile gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların nitel özelliklerini (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği) grafik ve cebirsel temsilleri üzerinden analiz eder.
- b) Gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların grafik ve cebirsel temsillerini fonksiyon olma şartları ve fonksiyonların nitel özellikleri bakımından karşılaştırır.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir hava istasyonundaki eski bir sensör, gerçek sıcaklık x °C iken ekranda f(x) = 3x − 5 değerini gösteriyor. Teknisyen, sensörün 2 °C ve −1 °C'deki gösterimlerini toplayarak bir hata kontrolü yapıyor. Teknisyenin bulduğu toplam kaçtır?
- A) 7
- B) −3
- C) −9
- D) −7
- E) 1
Cevabı göster
Doğru cevap: D) −7
f(2) = 3 · 2 − 5 = 1 ve f(−1) = 3 · (−1) − 5 = −8 olduğundan toplam 1 + (−8) = −7'dir. 1'i seçen öğrenci yalnızca f(2)'yi hesaplamış, f(−1) değerini toplama katmamıştır.
Kolay
2Bilgisayar destekli tasarım dersinde öğrenciler, ekranda çizdikleri eğrileri programa "y, x'in fonksiyonudur" biçiminde tanıtmak istiyor. Program, bir x değerine birden fazla y değeri karşılık gelen eğriler için hata veriyor. Aşağıdaki eğrilerden hangisi için program hata verir?
- A) y = x² parabolü
- B) x² + y² = 9 çemberi
- C) y = 2x − 1 doğrusu
- D) y = |x| grafiği
- E) y = √x grafiği
Cevabı göster
Doğru cevap: B) x² + y² = 9 çemberi
Düşey doğru testine göre x = 0 doğrusu çemberi (0, 3) ve (0, −3) noktalarında keser; bir x değerine iki y karşılık geldiğinden çember fonksiyon grafiği değildir. y = |x| grafiğindeki sivri köşe çekici gelebilir; ancak her x için tek bir y değeri vardır.
Kolay
3Bir grafik tasarımcı, y eksenine göre simetrik bir logo eğrisi çizmek istiyor. Bunun için her x için f(−x) = f(x) eşitliğini sağlayan, yani çift olan bir fonksiyon seçecek. Tasarımcının seçebileceği fonksiyon hangisidir?
- A) f(x) = x³
- B) f(x) = x + 1
- C) f(x) = x³ − x
- D) f(x) = x⁴ + 1
- E) f(x) = (x − 1)²
Cevabı göster
Doğru cevap: D) f(x) = x⁴ + 1
f(−x) = (−x)⁴ + 1 = x⁴ + 1 = f(x) olduğundan bu fonksiyon çifttir ve grafiği y eksenine göre simetriktir. f(x) = (x − 1)² de bir kare içerdiği için çift sanılabilir; oysa grafiği x = 1 doğrusuna göre simetriktir ve örneğin f(−1) = 4 iken f(1) = 0'dır.
Kolay
4Bir fizik laboratuvarında bir sensöre A = {−1, 0, 2} kümesindeki giriş değerleri veriliyor ve sensör her girişe karşılık B = {0, 1, 4} kümesinden bir çıkış değeri üretiyor. Beş öğrenci, sensörün kayıtlarını (giriş, çıkış) biçiminde sıralı ikililer olarak defterlerine yazıyor. Hangi öğrencinin kaydı A'dan B'ye bir fonksiyon belirtir?
- A) {(−1, 1), (0, 0)}
- B) {(−1, 1), (0, 0), (2, 1)}
- C) {(−1, 1), (−1, 4), (0, 0), (2, 4)}
- D) {(−1, 0), (0, 1), (2, 2)}
- E) {(0, 0), (2, 4), (−1, 1), (0, 4)}
Cevabı göster
Doğru cevap: B) {(−1, 1), (0, 0), (2, 1)}
Fonksiyon olması için A'daki her elemanın B'de tek bir görüntüsü olmalıdır; {(−1, 1), (0, 0), (2, 1)} bu koşulu sağlar (iki elemanın aynı görüntüye sahip olması sorun değildir). {(−1, 1), (0, 0)} kaydında hata yokmuş gibi görünür, ancak 2 elemanı eşlenmemiştir ve tanım kümesinin tamamı kullanılmamıştır.
Kolay
5f: R → R, f(x) = 2x² − 3 fonksiyonu için f(−2) kaçtır?
- A) −11
- B) 13
- C) 5
- D) −5
- E) 11
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 5
f(−2) = 2 · (−2)² − 3 = 2 · 4 − 3 = 5'tir. −11, (−2)² yerine −4 yazılmasından gelir.
Kolay
6Bir öğrenci dinamik geometri yazılımında beş eğri çiziyor: y = x² parabolü, y = 3 doğrusu, merkezi orijinde ve yarıçapı 2 olan çember, y = x³ eğrisi ve y = 2x − 1 doğrusu. Bu eğrilerden hangisi bir fonksiyonun grafiği değildir?
- A) y = x² parabolü
- B) Çember
- C) y = 3 doğrusu
- D) y = x³ eğrisi
- E) y = 2x − 1 doğrusu
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Çember
x eksenine dik çizilen bir doğru çemberi (örneğin x = 0 için) iki noktada keser; bu yüzden çember bir x'i iki y ile eşler. y = 3 doğrusu her x'i yalnız 3 ile eşlediği için fonksiyondur.
Kolay
7Bir okulda öğrencilere dolap veriliyor. Öğrenciler kümesinden dolap numaraları kümesine yapılan eşlemenin fonksiyon olması için aşağıdaki koşullardan hangisi gereklidir?
- A) Her öğrenciye bir ve yalnız bir dolap numarası verilmelidir.
- B) Her dolap numarası en az bir öğrenciye verilmelidir.
- C) İki öğrenciye aynı dolap numarası verilmemelidir.
- D) Bazı öğrencilere dolap verilmeyebilir.
- E) Bir öğrenciye iki farklı dolap numarası verilebilir.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Her öğrenciye bir ve yalnız bir dolap numarası verilmelidir.
Fonksiyonda tanım kümesindeki her eleman, değer kümesinde tek bir elemanla eşlenir; her öğrenci bir ve yalnız bir numara almalıdır. Aynı numaranın iki öğrenciye verilmemesi fonksiyon için değil, bire birlik için gereken bir koşuldur.
Kolay
8f: R → R, f(x) = x − 4 fonksiyonunun negatif değerler aldığı x değerleri hangi aralıktadır?
- A) x > 4
- B) x < 4
- C) x < −4
- D) x > −4
- E) x < 0
Cevabı göster
Doğru cevap: B) x < 4
f(x) < 0 için x − 4 < 0, yani x < 4 olmalıdır. x < 0 seçeneği, fonksiyonun negatif olduğu yer ile x'in negatif olduğu yerin karıştırılmasıdır.
Kolay
9f: R → R, f(x) = (x − 1)² + 3 fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?
- A) 1
- B) −1
- C) 4
- D) 0
- E) 3
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 3
(x − 1)² ≥ 0 olduğundan f(x) ≥ 3'tür ve x = 1'de f(1) = 3 olur. 1, en küçük değerin değil, bu değerin alındığı x'in değeridir.
Kolay
10f: R → R, f(x) = 5 sabit fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Fonksiyon bire birdir.
- B) Fonksiyon örtendir.
- C) Görüntü kümesi R'dir.
- D) Fonksiyon bire bir değildir.
- E) Fonksiyonun sıfırı 5'tir.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Fonksiyon bire bir değildir.
f(1) = f(2) = 5 olduğundan farklı elemanların görüntüleri aynıdır; fonksiyon bire bir değildir. Görüntü kümesi yalnız {5} olduğundan örten de değildir.
Kolay
11f: R → R, f(x) = −2x + 1 fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Fonksiyon azalandır.
- B) Fonksiyon artandır.
- C) Fonksiyon sabittir.
- D) Fonksiyon önce artan, sonra azalandır.
- E) Fonksiyonun sıfırı yoktur.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Fonksiyon azalandır.
x büyüdükçe −2x küçülür; örneğin f(0) = 1, f(1) = −1 olduğundan fonksiyon azalandır. Sıfırı da vardır: x = 1/2.
Kolay
12f: {−1, 0, 1} → R, f(x) = x² fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) {−1, 0, 1}
- B) {0, 1}
- C) {1}
- D) {0, 1, 2}
- E) R
Cevabı göster
Doğru cevap: B) {0, 1}
f(−1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1 olduğundan görüntüler 0 ve 1'dir. {−1, 0, 1} tanım kümesidir; görüntü kümesi değildir.
Kolay
13Bir öğrenci, f(x) = 1/(x − 2) kuralıyla R'den R'ye bir fonksiyon tanımladığını söylüyor. Bu tanım neden bir fonksiyon belirtmez?
- A) x = 0 için kural negatif bir değer verir.
- B) x = 2 için kural bir değer vermediğinden 2 eşlenmemiş kalır.
- C) Kural her x'i iki farklı değerle eşler.
- D) Kesirli ifadeler fonksiyon belirtemez.
- E) x = −2 için kural sıfır değerini verir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) x = 2 için kural bir değer vermediğinden 2 eşlenmemiş kalır.
Tanım kümesindeki her eleman eşlenmelidir; x = 2'de payda sıfır olduğu için kural bir değer üretmez. Negatif değer almak fonksiyon olmayı engellemez.
Kolay
14f: R → R, f(x) = 3x − 12 fonksiyonunun sıfırı kaçtır?
- A) 4
- B) −12
- C) 12
- D) −4
- E) 3
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 4
Fonksiyonun sıfırı f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değeridir: 3x − 12 = 0, x = 4. −12 ise f(0) değeridir, yani grafiğin y eksenini kestiği yerdir.
Kolay
15f: R → R tek fonksiyondur ve f(−2) = 5'tir. f(2) kaçtır?
- A) 5
- B) 2
- C) −2
- D) 0
- E) −5
Cevabı göster
Doğru cevap: E) −5
Tek fonksiyonda f(−x) = −f(x)'tir; f(2) = −f(−2) = −5 olur. 5, çift fonksiyon kuralının uygulanmasından gelir.
Kolay
16Grafiği y eksenine göre simetrik olan bir f fonksiyonu için f(3) = 7'dir. f(−3) kaçtır?
- A) −7
- B) 3
- C) 7
- D) −3
- E) 0
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 7
Grafiği y eksenine göre simetrik olan fonksiyon çifttir ve f(−x) = f(x) sağlanır; f(−3) = 7'dir. −7, tek fonksiyon kuralının uygulanmasından gelir.
Kolay
17Deposunda 450 litre su bulunan bir sulama tankının vanası açıldığında tanktan dakikada 15 litre su akıyor ve vana, tank tamamen boşalana kadar açık bırakılıyor. Vana açıldıktan t dakika sonra tankta kalan su miktarı (litre) f(t) = 450 − 15t fonksiyonuyla modelleniyor. Buna göre bu modelde t'nin alabileceği bütün değerlerden oluşan tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [0, 15]
- B) [15, 450]
- C) [0, 450]
- D) (−∞, 30]
- E) [0, 30]
Cevabı göster
Doğru cevap: E) [0, 30]
Model, vananın açıldığı andan (t = 0) tankın boşaldığı ana kadar geçerlidir. Tank boşaldığında f(t) = 0 olur: 450 − 15t = 0, t = 30. Bu nedenle tanım kümesi [0, 30] aralığıdır. [0, 450], kalan su miktarının alabileceği değerlerdir; yani görüntü kümesidir, tanım kümesi değildir. (−∞, 30] aralığı vana açılmadan önceki negatif süreleri de içerdiğinden bağlama uymaz; 15 ise dakikada akan su miktarıdır, süre sınırı değildir.
Kolay
18Bir kodlama etkinliğinde A = {1, 2, 3} kümesinin her elemanı bir gerçek sayıyla eşlenecektir. Kerem bu eşlemeyi f = {(1, 4), (2, 7), (1, a − 2), (3, 7)} biçiminde yazıyor. Kerem'in yazdığı f ilişkisinin A'dan R'ye bir fonksiyon olması için a kaç olmalıdır?
- A) 2
- B) 4
- C) 5
- D) 6
- E) 9
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 6
Fonksiyonda tanım kümesindeki her eleman tek bir elemanla eşlenir. 1 elemanı hem (1, 4) hem (1, a − 2) ikilisinde yer aldığından bu iki ikili aynı olmalıdır: a − 2 = 4, a = 6. 2 ve 3'ün ikisinin de 7 ile eşlenmesi fonksiyon olmayı bozmaz; farklı elemanların görüntüleri aynı olabilir (bu yalnız bire birliği bozar). 9, a − 2 = 7 alınmasıyla; 4 ise a'nın doğrudan 4'e eşitlenmesiyle varılan hatalı sonuçlardır.
Orta
19Bir grafik çizim uygulamasında Mehmet, f(x) = x² − x − 12 fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kestiği noktaları bulmak istiyor. Uygulama bu noktaların apsislerini "fonksiyonun sıfırları" olarak işaretliyor. Uygulamanın işaretlediği sıfırlar hangileridir?
- A) 3 ve −4
- B) −3 ve −4
- C) 3 ve 4
- D) −3 ve 4
- E) −2 ve 6
Cevabı göster
Doğru cevap: D) −3 ve 4
f(x) = 0 için x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3) = 0 yazılır ve sıfırlar x = 4 ile x = −3 bulunur. 3 ve −4'ü seçen öğrenci çarpanlardaki sayıların işaretlerini doğrudan kök olarak almıştır; (x + 3) çarpanı x = −3'te sıfır olur.
Orta
20Bir mühendis, merkezden x metre uzaklıktaki bir noktada ölçüm yapan bir sensörü, merkezin sağında pozitif, solunda negatif değer verecek biçimde kalibre ediyor; ölçüm fonksiyonu f: R → R tek fonksiyondur. Merkezin 4 m solunda (x = −4) ölçülen değer 7'dir. f(4) + f(0) toplamı kaçtır?
- A) 7
- B) −7
- C) 0
- D) 14
- E) −14
Cevabı göster
Doğru cevap: B) −7
Tek fonksiyonda f(−x) = −f(x) olduğundan f(4) = −7'dir; x = 0 için f(0) = −f(0) eşitliğinden f(0) = 0 bulunur ve toplam −7 olur. 7'yi seçen öğrenci tek ve çift fonksiyon tanımlarını karıştırıp f(4) = f(−4) almıştır.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.