10. Sınıf Matematik · Nicelikler ve Değişimler

Karekök Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri

karekök fonksiyonu
tanım kümesi
görüntü kümesi
öteleme
artan fonksiyon
periyot

Karekök fonksiyonunun tanım kümesi ve grafiği nasıldır?

Karekök fonksiyonu, referans biçimi f(x) = √x olan, tanım kümesi ve görüntü kümesi [0, ∞) olan ve başta hızlı sonra giderek yavaşlayan artışları modelleyen fonksiyondur. Grafik (0, 0) noktasından başlar ve sürekli artar ama artış giderek yavaşlar: √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3. √x bire bir ve artandır; minimum değeri 0'dır, maksimum değeri yoktur. Genel biçim f(x) = a√(x + r) + k'dir ve grafik x ekseni boyunca r birim, y ekseni boyunca k birim ötelenir. Örneğin f(x) = √(x − 2) + 1 için tanım kümesi [2, ∞), görüntü kümesi [1, ∞) ve başlangıç noktası (2, 1)'dir. a < 0 ise grafik x eksenine göre yansır ve fonksiyon azalan olur. Sarkacın periyodu ip uzunluğunun kareköküyle orantılı değiştiği için bu fonksiyonla modellenir. Kök içi negatif olamayacağından tanım kümesi kök içi sıfıra eşit ya da büyük alınarak bulunur.

Karekök Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri: konu anlatımı ve özeti

Karekök fonksiyonu, başta hızlı sonra giderek yavaşlayan artışları modeller. Örneğin bir sarkacın periyodu, ip uzunluğunun karekökü ile orantılı olarak değişir.

Karekök referans fonksiyonu f(x) = √x'tir: tanım kümesi [0, ∞), görüntü kümesi [0, ∞).
Grafik (0, 0) noktasından başlar ve sürekli artar, ama artış giderek yavaşlar: √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3.
√x bire bir ve artandır; minimum değeri x = 0'da 0'dır, maksimum değeri yoktur.
Genel biçim f(x) = a√(x + r) + k'dir: grafik x ekseni boyunca r birim, y ekseni boyunca k birim ötelenir. Örnek: f(x) = √(x − 2) + 1 için tanım kümesi [2, ∞), görüntü kümesi [1, ∞), başlangıç noktası (2, 1).
√x grafiği (0, 0)’dan başlar ve (1, 1), (4, 2), (9, 3)’ten geçer; √(x − 2) + 1 grafiği aynı eğrinin (2, 1)’e ötelenmiş hâlidir
a < 0 ise grafik x eksenine göre yansır ve fonksiyon azalan olur; bu durumda başlangıç noktasındaki değer maksimum olur.
Sıfır bulma: f(x) = √(x + 4) − 3 için √(x + 4) = 3, x + 4 = 9 ve x = 5 bulunur.

Unutma: Kök içi negatif olamayacağı için tanım kümesini kök içini sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük yaparak bul: √(x − 2) için x ≥ 2.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Karekök fonksiyonunda işe her zaman tanım kümesiyle başla.

Kök içini sıfıra eşit ya da büyük yap: √(x + 1) için x + 1 ≥ 0, yani x ≥ −1.
Başlangıç noktasını bul: f(x) = √(x + 1) − 2 için x = −1'de f = −2, nokta (−1, −2).
Görüntü kümesini yaz: a > 0 olduğundan değerler −2'den başlayıp artar: [−2, ∞).
Sıfırı bul: √(x + 1) = 2, x + 1 = 4, x = 3.

Günlük hayattan: Kare bir bahçenin kenarı alanın kareköküdür. Alan 4 katına çıkınca kenar yalnızca 2 katına çıkar; artış giderek yavaşlar.

Sık yapılan hata: √(x + 1) grafiğinin 1 birim sağa ötelendiğini sanmak. Doğrusu: Kök içine 1 eklemek grafiği 1 birim sola kaydırır; başlangıç noktası x = −1'dir.

Derinleş

Bir ipin ucuna küçük bir ağırlık bağlayarak sarkaç yap. İpin uzunluğunu 25 cm, 50 cm, 100 cm ve 200 cm alarak on salınımın süresini ölç ve bir salınımın süresini hesapla. Verileri tabloya ve grafiğe işle: Uzunluk 4 katına çıkınca süre kaç katına çıkıyor? Fizik dersindeki sarkaç bilginle sonucu karşılaştır ve ölçümlerindeki farkların hangi kaynaklardan gelebileceğini tartış.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.10.4.3Gerçek sayılarda
- a) Karekök referans fonksiyonun nitel özelliklerini (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği) matematiksel temsilleri kullanarak belirler.
- b) Karekök referans fonksiyonun nitel özellikleri ile matematiksel temsilleri arasındaki ilişkileri belirler.
- c) Karekök referans fonksiyonu grafik ve cebirsel temsili üzerinde yapılan işlemlerle diğer karekök fonksiyonlarına dönüştürür.
- ç) Karekök referans fonksiyon ile elde ettiği karekök fonksiyonlarının grafik ve cebirsel temsilleri arasındaki ilişkiyi ifade eder.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir bahçıvan, alanı A m² olan kare biçimli bir çiçek tarhının kenar uzunluğunu s(A) = √A formülüyle buluyor. Alanı 8 m² olan tarh genişletiliyor ve alanı 1 m² daha artırılıyor. Genişletilmiş tarhın bir kenarı kaç metredir?
- A) 9
- B) √8
- C) 3
- D) 4
- E) 4,5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 3
Yeni alan 8 + 1 = 9 m² olduğundan kenar s(9) = √9 = 3 m'dir; bu, f(x) = √(x + 1) fonksiyonunun x = 8'deki değeridir. 9 seçeneği alanın kendisidir; karekök alınmadan bırakılmıştır.
Kolay
2Bir dijital oyunda topun izlediği yol ekranda y = √x eğrisiyle çiziliyor. Tasarımcı, sahnenin düzeni değişince yolun kuralını y = √(x + 2) − 3 olarak güncelliyor; eğrinin biçimi aynı kalıyor, yalnızca konumu değişiyor. Güncellenen yolun başlangıç noktası aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (2, −3)
- B) (−2, −3)
- C) (−3, −2)
- D) (−2, 3)
- E) (2, 3)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (−2, −3)
√x eğrisi (0, 0)'dan başlar. x yerine x + 2 yazmak eğriyi 2 birim sola, sona −3 eklemek 3 birim aşağı öteler; başlangıç noktası (−2, −3) olur. (2, −3) seçeneği, "+2" görülünce eğrinin sağa kaydığını sanmaktan doğar.
Kolay
3Melis, elektronik tablo programında A sütununa −5'ten 10'a kadar tam sayıları yazıyor ve B sütununda her satır için f(x) = √(x − 3) değerini hesaplatıyor. Program bazı satırlarda sonuç yerine hata mesajı gösteriyor. f fonksiyonunun gerçek sayılardaki en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (3, ∞)
- B) [−3, ∞)
- C) [0, ∞)
- D) [3, ∞)
- E) (−∞, 3]
Cevabı göster
Doğru cevap: D) [3, ∞)
Kök içi negatif olamayacağından x − 3 ≥ 0, yani x ≥ 3 olmalıdır; hata mesajları x < 3 olan satırlarda çıkar. x = 3 için √0 = 0 tanımlı olduğundan aralık 3'te kapalıdır; (3, ∞) seçeneği bu noktayı yanlışlıkla dışarıda bırakır.
Kolay
4Bir belediye parkına dikilen fidanın boyunun, dikimden t ay sonra yaklaşık h(t) = √t + 2 desimetre olduğu gözleniyor (t ≥ 0). Bahçıvan, bu modelin fidanın boyu için hangi değerleri verebileceğini merak ediyor. h fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [0, ∞)
- B) (2, ∞)
- C) [−2, ∞)
- D) [2, ∞)
- E) [0, 2]
Cevabı göster
Doğru cevap: D) [2, ∞)
√t ≥ 0 olduğundan h(t) = √t + 2 ≥ 2'dir ve t = 0'da (dikim anında) 2 değeri alınır; t büyüdükçe h sınırsız artar. Görüntü kümesi [2, ∞)'dur. (2, ∞) seçeneği, dikim anındaki 2 dm'lik boyu dışarıda bıraktığı için yanlıştır.
Kolay
5Bir program, girilen x sayısı için f(x) = √(x − 6) değerini hesaplıyor ve hesaplayamadığı sayılar için uyarı veriyor. Programın uyarı vermediği x değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [−6, ∞)
- B) (6, ∞)
- C) [0, ∞)
- D) [6, ∞)
- E) (−∞, 6]
Cevabı göster
Doğru cevap: D) [6, ∞)
Kök içi sıfır ya da pozitif olmalıdır: x − 6 ≥ 0, yani x ≥ 6. (6, ∞) seçeneği, √0 = 0 tanımlı olduğu hâlde x = 6'yı dışarıda bırakır.
Kolay
6Bir oyunda oyuncunun hızı, topladığı enerji puanı x olmak üzere f(x) = √x birimdir. Ece'nin hızı 7 birim olarak görünüyor. Ece'nin topladığı enerji puanı kaçtır?
- A) 14
- B) 7
- C) √7
- D) 3,5
- E) 49
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 49
√x = 7 ise x = 7² = 49'dur. 14 cevabı karekök ile 2'ye bölme işleminin karıştırılmasından doğar.
Kolay
7Bir öğrenci hesap makinesinde negatif bir sayının karekökünü almaya çalıştığında ekranda hata mesajı görüyor. f(x) = √x fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [0, ∞)
- B) (0, ∞)
- C) (−∞, ∞)
- D) [1, ∞)
- E) (−∞, 0]
Cevabı göster
Doğru cevap: A) [0, ∞)
Gerçek sayılarda kök içi negatif olamaz, √0 = 0 ise tanımlıdır; tanım kümesi [0, ∞)'dur. (0, ∞) seçeneği tanımlı olan x = 0 değerini dışarıda bırakır.
Kolay
8Bir grafik uygulamasında f(x) = √(x − 5) + 1 fonksiyonunun grafiği, y = √x grafiğinin ötelenmesiyle elde ediliyor. Uygulanan öteleme aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 5 birim sola, 1 birim yukarı
- B) 5 birim sağa, 1 birim aşağı
- C) 1 birim sağa, 5 birim yukarı
- D) 5 birim sola, 1 birim aşağı
- E) 5 birim sağa, 1 birim yukarı
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 5 birim sağa, 1 birim yukarı
(x − 5) kök içinde grafiği 5 birim sağa, +1 ise 1 birim yukarı öteler; başlangıç noktası (0, 0)'dan (5, 1)'e taşınır. Sola öteleme için kök içinde (x + 5) olmalıdır.
Kolay
9Bir öğrenci y = √x fonksiyonunun grafiğini çizmek için bazı noktalar belirliyor. Aşağıdaki noktalardan hangisi bu grafik üzerindedir?
- A) (9, 3)
- B) (3, 9)
- C) (−4, 2)
- D) (4, −2)
- E) (2, 4)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (9, 3)
√9 = 3 olduğundan (9, 3) noktası grafiktedir. (3, 9) noktası y = x² grafiğine aittir; (4, −2) ise √x hiçbir zaman negatif olmadığı için grafikte olamaz.
Kolay
10Bir fen deneyinde kullanılan programa, ölçülen x değeri için f(x) = √(x + 2) formülü girilmiştir. Öğrenci programa x = 7 değerini giriyor. Program hangi sonucu verir?
- A) 9
- B) 3
- C) 5
- D) √7 + 2
- E) √5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 3
f(7) = √(7 + 2) = √9 = 3 bulunur. √7 + 2 sonucu, 2'nin kök içinde olduğu unutularak elde edilir.
Kolay
11Bir öğrenci f(x) = −√x fonksiyonunun grafiğini, √x grafiğini x eksenine göre yansıtarak çiziyor. f(x) = −√x fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Azalandır ve en büyük değeri 0'dır.
- B) Artandır ve en küçük değeri 0'dır.
- C) Azalandır ve en küçük değeri 0'dır.
- D) Tanım kümesi (−∞, 0]'dır.
- E) Görüntü kümesi [0, ∞)'dur.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Azalandır ve en büyük değeri 0'dır.
a < 0 olduğunda grafik x eksenine göre yansır, fonksiyon azalan olur ve başlangıç noktasındaki 0 değeri maksimum olur. Yansıtma kök içini değiştirmediğinden tanım kümesi yine [0, ∞)'dur.
Kolay
12Bir öğrenci f(x) = √x fonksiyonu için şu tabloyu hazırlıyor: x: 0, 1, 4, 9, 16 f(x): 0, 1, 2, 3, 4 Tabloya göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) f(x), x ile aynı hızda artar.
- B) x büyüdükçe f(x)'teki artış hızlanır.
- C) x arttıkça f(x) artar, ama artış giderek yavaşlar.
- D) f fonksiyonu [0, ∞) aralığında azalandır.
- E) f fonksiyonunun en büyük değeri 4'tür.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) x arttıkça f(x) artar, ama artış giderek yavaşlar.
f(x)'in 1 birim artması için x'in önce 1, sonra 3, 5, 7 birim artması gerekir; fonksiyon artandır ama giderek yavaşlar. Tablo yalnızca birkaç değeri gösterir; √x'in en büyük değeri yoktur.
Kolay
13Bir usta, kare biçimli fayansların kenar uzunluğunu alanın karekökünü alarak buluyor. Bir fayansın alanı 49 cm²'dir. Bu fayansın bir kenarı kaç cm'dir?
- A) 24,5
- B) 14
- C) 12,25
- D) 7
- E) 49
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 7
Kenar uzunluğu √49 = 7 cm'dir. 12,25 cevabı alanı 4'e bölmekten, yani alan ile çevre bilgisinin karıştırılmasından gelir.
Kolay
14Bir grafik ödevinde f(x) = √(x + 3) − 2 fonksiyonunun grafiğinin başladığı nokta soruluyor. Bu başlangıç noktası aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (3, −2)
- B) (−3, −2)
- C) (−3, 2)
- D) (2, −3)
- E) (3, 2)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (−3, −2)
Kök içi x = −3'te sıfır olur ve f(−3) = −2'dir; grafik (−3, −2) noktasından başlar. (3, −2) cevabı, (x + 3) ifadesinin grafiği sağa ötelediği yanılgısından gelir.
Kolay
15Bir oyunda karakterin puanı, geçtiği seviye sayısı x olmak üzere f(x) = √(x + 1) − 2 ile hesaplanıyor. Puanın sıfır olduğu seviye merak ediliyor. f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
- A) 1
- B) 3
- C) 5
- D) −1
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 3
√(x + 1) = 2 ise x + 1 = 4 ve x = 3'tür. 1 cevabı, 2'nin karesini almadan x + 1 = 2 yazılmasından doğar.
Kolay
16Bir mağaza, müşteri sayısı x olmak üzere günlük kampanya puanını f(x) = √x + 4 kuralıyla hesaplıyor (x ≥ 0). Bu fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [0, ∞)
- B) [−4, ∞)
- C) [4, ∞)
- D) (4, ∞)
- E) [16, ∞)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) [4, ∞)
√x en az 0 olduğundan √x + 4 en az 4'tür ve sınırsız büyüyebilir; görüntü kümesi [4, ∞) olur. [0, ∞) yalnızca √x'in görüntü kümesidir, 4 birim yukarı öteleme hesaba katılmamıştır.
Kolay
17Bir laboratuvarda iki sensör aynı anda ölçüm yapıyor. Birinci sensörün göstergesi √(a + 2), ikinci sensörün göstergesi √(2a − 5) değerini gösteriyor ve iki göstergede aynı sayı okunuyor. f(x) = √x fonksiyonu bire bir olduğundan, karekökleri eşit olan iki sayı birbirine eşittir. Buna göre a kaçtır?
- A) −7
- B) −3
- C) 7/3
- D) 3
- E) 7
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 7
f(x) = √x bire bir olduğundan √(a + 2) = √(2a − 5) ise a + 2 = 2a − 5, buradan a = 7 bulunur. Kontrol: a = 7 için kök içleri 9 ve 9'dur (negatif değil) ve iki gösterge de √9 = 3 gösterir. 3, a yerine göstergelerdeki ortak değerin yazılmasından; 7/3, denklemin a + 2a = 7 biçiminde hatalı düzenlenmesinden; −7 ve −3 ise işaret hatalarından gelir (bu değerlerde kök içleri negatif olur).
Kolay
18Bir marangoz, alanı x cm² olan kare biçimli bir tahtanın kenar uzunluğunu f(x) = √x ile hesaplıyor. Yanında hesap makinesi olmadığından, alanı 20 cm² olan tahtanın kenar uzunluğunu f fonksiyonunun artan olmasından yararlanarak tahmin edecek. f(20) değeri hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?
- A) 3 ile 4
- B) 4 ile 5
- C) 5 ile 6
- D) 9 ile 10
- E) 10 ile 11
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 4 ile 5
f(x) = √x artan bir fonksiyondur; 16 < 20 < 25 olduğundan f(16) < f(20) < f(25), yani 4 < √20 < 5 olur. "9 ile 10" ve "10 ile 11" seçenekleri karekök almak yerine 20'nin ikiye bölünmesinden (10); "3 ile 4" ve "5 ile 6" ise 20'nin yanlış tam kareler arasına yerleştirilmesinden gelir (9 < 16 < 20 ve 20 < 25 < 36).
Orta
19Bir yazılım ekibi, iki sensörden gelen ölçümleri birleştirmek için f(x) = √(x − 4) + √(10 − x) kuralını kullanıyor. Program, kök içlerinden biri negatif olduğunda hata verip duruyor. Programın hata vermeden çalıştığı x değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (4, 10)
- B) [−10, 4]
- C) (−∞, 10]
- D) [4, 10]
- E) [4, ∞)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) [4, 10]
Her iki kök içi de negatif olmamalıdır: x − 4 ≥ 0 ise x ≥ 4, 10 − x ≥ 0 ise x ≤ 10'dur; ortak çözüm [4, 10]'dur. (4, 10) seçeneği uç noktaları dışlar; oysa x = 4 ve x = 10'da kök içlerinden biri 0 olur ve fonksiyon tanımlıdır.
Orta
20Bir oyun uygulamasında oyuncunun puan farkı f(x) = √(2x + 1) − 3 ile hesaplanıyor; x tamamlanan görev sayısıdır. Puan farkı negatifken oyuncu kırmızı, pozitifken yeşil bölgede görünüyor. Oyuncunun tam sınırda, yani puan farkının sıfır olduğu görev sayısı kaçtır?
- A) 4
- B) 1
- C) 8
- D) 5
- E) 9
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 4
f(x) = 0 için √(2x + 1) = 3, iki tarafın karesi alınırsa 2x + 1 = 9 ve x = 4 bulunur; kontrol: √9 − 3 = 0. 1 seçeneği, karekök alınmadan 2x + 1 = 3 yazılmasından doğar.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.