10. Sınıf Matematik · Nicelikler ve Değişimler

Karesel Fonksiyon ve Nitel Özellikleri

karesel fonksiyon
parabol
tepe noktası
simetri ekseni
öteleme
maksimum
minimum

Karesel fonksiyonun grafiği ve tepe noktası nasıl bulunur?

Karesel fonksiyon, genel biçimi f(x) = a(x + r)² + k olan ve grafiği parabol adı verilen simetrik bir eğri olan fonksiyondur; tepe noktası (−r, k)'dir. Referans fonksiyon f(x) = x²'nin tepe noktası (0, 0), görüntü kümesi [0, ∞)'dur ve grafiği y eksenine göre simetriktir. Genel biçimin grafiği, x² grafiğinin x ekseni boyunca r birim, y ekseni boyunca k birim ötelenmesi ve a ile genişletilip daraltılmasıyla elde edilir. a > 0 ise kollar yukarı bakar ve k minimum değer, a < 0 ise kollar aşağı bakar ve k maksimum değerdir; |a| büyüdükçe parabol daralır. Simetri ekseni x = −r doğrusudur. Örneğin f(x) = 2(x − 1)² − 8 için tepe noktası (1, −8), sıfırlar ise 3 ve −1'dir. Havaya atılan bir topun yüksekliği ya da hıza bağlı kinetik enerji karesel fonksiyonlarla modellenir; gerçek yaşam modellerinde zaman negatif olamayacağı için tanım kümesi sınırlandırılır. (x + 3)² grafiği 3 birim sağa değil, sola ötelenir.

Karesel Fonksiyon ve Nitel Özellikleri: konu anlatımı ve özeti

Havaya atılan bir topun yüksekliği ya da hıza bağlı kinetik enerji gibi durumlar karesel fonksiyonlarla modellenir. Karesel fonksiyonun grafiği parabol adı verilen simetrik bir eğridir.

Karesel referans fonksiyon f(x) = x²'dir: tepe noktası (0, 0), grafiği y eksenine göre simetrik, görüntü kümesi [0, ∞).
Genel biçim f(x) = a(x + r)² + k'dir. Grafik, x² grafiğinin x ekseni boyunca r birim (r > 0 ise sola), y ekseni boyunca k birim ötelenmesi ve a ile genişletilip daraltılmasıyla elde edilir. Tepe noktası (−r, k)'dir.
a > 0 ise kollar yukarı bakar ve k minimum değerdir; a < 0 ise kollar aşağı bakar ve k maksimum değerdir. |a| büyüdükçe parabol daralır.
Simetri ekseni x = −r doğrusudur. a > 0 iken fonksiyon (−∞, −r] aralığında azalan, [−r, ∞) aralığında artandır.
Örnek: f(x) = 2(x − 1)² − 8 için tepe noktası (1, −8), minimum değer −8'dir. Sıfırları için (x − 1)² = 4 çözülür: x = 3 ya da x = −1.
f(x) = 2(x − 1)² − 8 parabolü: tepe noktası (1, −8), simetri ekseni x = 1, sıfırları −1 ve 3
Gerçek yaşam modellerinde tanım kümesi bağlama göre sınırlandırılır; örneğin zaman negatif olamaz.

Unutma: f(x) = a(x + r)² + k yazılışında tepe noktasının apsisi −r'dir; (x + 3)² grafiği 3 birim sağa değil, sola ötelenir.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

f(x) = a(x + r)² + k biçimindeki bir fonksiyonu sırayla oku.

a'nın işareti: a > 0 ise kollar yukarı (en küçük değer var), a < 0 ise aşağı (en büyük değer var).
Tepe noktası: (−r, k). Parantez içindeki sayının işaretini değiştirmeyi unutma.
Sıfırlar: f(x) = 0 yazıp çöz.

Örnek: f(x) = −(x − 2)² + 9 için kollar aşağı bakar, tepe noktası (2, 9) ve en büyük değer 9'dur. (x − 2)² = 9 eşitliğinden sıfırlar x = 5 ve x = −1 bulunur.

Günlük hayattan: Bir fıskiyeden çıkan suyun izlediği yol aşağı bakan bir parabole benzer; tepe noktası suyun ulaştığı en yüksek yerdir.

Sık yapılan hata: a < 0 iken k'yi en küçük değer sanmak. Doğrusu: Kollar aşağı bakıyorsa tepe noktası en yüksek noktadır ve k en büyük değerdir.

Derinleş

Bir arkadaşının serbest atışını telefonla videoya çek ve topun birkaç karedeki konumunu kareli bir kâğıda ya da bir grafik yazılımına işle. Noktalara uyan karesel fonksiyonu bulmaya çalış: tepe noktası nerede, top hangi yükseklikte potaya ulaşıyor? Fizik dersindeki eğik atış bilginle parabolün neden oluştuğunu açıkla; atış açısını değiştirmenin tepe noktasını nasıl etkileyeceğini tahmin edip dene.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.10.4.2Gerçek sayılarda f(x) = x² şeklinde tanımlı karesel referans fonksiyonun nitel
- a) Karesel referans fonksiyonun nitel özelliklerini (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği) matematiksel temsilleri kullanarak belirler.
- b) Karesel referans fonksiyonun nitel özellikleri ile matematiksel temsilleri arasındaki ilişkileri belirler.
- c) Karesel referans fonksiyonu grafik ve cebirsel temsili üzerinde yapılan işlemlerle diğer karesel fonksiyonlara dönüştürür.
- ç) Karesel referans fonksiyon ile elde ettiği karesel fonksiyonların grafik ve cebirsel temsilleri arasındaki ilişkiyi ifade eder.
- ğ) Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam bağlamlarındaki kullanışlılığını değerlendirir.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir parkta, kemer biçimli bir yürüyüş yolu bölümü f(x) = 2(x + 3)² − 1 fonksiyonunun grafiğiyle modelleniyor. Tasarımcı, aydınlatma direğini bu eğrinin simetri ekseni üzerine dikecek. Direğin dikileceği doğrunun denklemi hangisidir?
- A) x = 3
- B) x = −1
- C) y = −1
- D) x = 2
- E) x = −3
Cevabı göster
Doğru cevap: E) x = −3
a(x − r)² + k biçiminde simetri ekseni x = r doğrusudur; (x + 3)² = (x − (−3))² olduğundan eksen x = −3'tür. y = −1 tepe noktasının ordinatıdır ve yatay bir doğrudur; parabolün simetri ekseni ise düşeydir.
Kolay
2Bir grafik tasarım uygulamasında y = x² eğrisi ekranda seçiliyor ve şekli değişmeden 2 birim sağa, 5 birim yukarı sürükleniyor. Uygulama, yeni eğrinin denklemini ekranın köşesinde gösteriyor. Uygulamanın gösterdiği denklem hangisidir?
- A) y = (x + 2)² + 5
- B) y = (x − 5)² + 2
- C) y = (x − 2)² + 5
- D) y = (x − 2)² − 5
- E) y = (x + 2)² − 5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) y = (x − 2)² + 5
Grafik r birim sağa ötelenince x yerine x − r, k birim yukarı ötelenince ifadeye + k yazılır: y = (x − 2)² + 5. (x + 2)² yazan öğrenci sağa ötelemeyi + işaretiyle göstermiştir; oysa yeni tepe noktası x = 2'de olmalıdır.
Kolay
3Bir parktaki kaykay rampasının kesiti, koordinat sisteminde f(x) = (x − 4)² + 1 fonksiyonunun grafiğiyle modelleniyor; birimler metredir. Rampanın en alçak noktası grafiğin tepe noktasına karşılık geliyor. Bu tepe noktası hangisidir?
- A) (−4, 1)
- B) (4, 1)
- C) (1, 4)
- D) (4, −1)
- E) (−4, −1)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (4, 1)
f(x) = (x − r)² + k biçimindeki fonksiyonun tepe noktası (r, k)'dir; burada r = 4 ve k = 1 olduğundan tepe noktası (4, 1)'dir. (−4, 1)'i seçen öğrenci parantez içindeki işareti doğrudan almıştır; (x − 4)² ifadesi x = 4'te sıfır olur.
Kolay
4Bir süs havuzundaki fıskiyeden çıkan suyun izlediği yol, tüm gerçek sayılarda tanımlı f(x) = 3 − x² fonksiyonunun grafiğiyle modelleniyor. Tasarımcı, fonksiyonun alabileceği tüm değerleri, yani görüntü kümesini belirlemek istiyor. f: R → R, f(x) = 3 − x² fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir?
- A) [3, ∞)
- B) (−∞, −3]
- C) R
- D) [0, 3]
- E) (−∞, 3]
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (−∞, 3]
x² ≥ 0 olduğundan 3 − x² ≤ 3'tür; değer x = 0'da 3'e ulaşır ve x büyüdükçe sınırsız azalır. Görüntü kümesi (−∞, 3]'tür. [0, 3]'ü seçen öğrenci suyun yerin altına inemeyeceğini düşünerek modeli fiziksel duruma göre kısıtlamıştır; ancak soru R'de tanımlı fonksiyonun görüntü kümesini sorar.
Kolay
5Bir kemer tasarımı f(x) = −2(x − 4)² + 7 fonksiyonunun grafiğiyle modelleniyor. Bu parabolün kolları ve uç değeri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Kollar yukarı bakar; minimum değer 7'dir.
- B) Kollar aşağı bakar; maksimum değer 4'tür.
- C) Kollar aşağı bakar; maksimum değer 7'dir.
- D) Kollar yukarı bakar; minimum değer −7'dir.
- E) Kollar aşağı bakar; maksimum değer −2'dir.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Kollar aşağı bakar; maksimum değer 7'dir.
a = −2 < 0 olduğundan kollar aşağı bakar ve k = 7 en büyük değerdir. 4 sayısı tepe noktasının apsisidir, fonksiyonun alabileceği en büyük değer değildir.
Kolay
6Bir öğrenci, f(x) = (x − 5)² + 2 fonksiyonunun grafiğini kâğıda çizip kâğıdı bir doğru boyunca katladığında parabolün iki kolunun tam üst üste geldiğini görüyor. Kâğıdın katlandığı doğru aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x = −5
- B) x = 5
- C) x = 2
- D) y = 5
- E) y = 2
Cevabı göster
Doğru cevap: B) x = 5
Kolların üst üste geldiği katlama doğrusu simetri eksenidir ve tepe noktasının apsisinden geçer: x = 5. y = 2 yatay bir doğrudur; parabolü simetrik iki parçaya ayırmaz.
Kolay
7Bir grafik ödevinde öğrencilerden f(x) = (x + 3)² fonksiyonunun grafiğini çizmeden önce tepe noktasını belirlemeleri isteniyor. Bu parabolün tepe noktası aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (−3, 0)
- B) (3, 0)
- C) (0, 3)
- D) (0, −3)
- E) (−3, 3)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (−3, 0)
f(x) = a(x + r)² + k biçiminde tepe noktası (−r, k)'dir; burada r = 3, k = 0 olduğundan tepe noktası (−3, 0) olur. (3, 0) cevabı, (x + 3)² ifadesinin grafiği sağa öteliyor sanılmasından kaynaklanır.
Kolay
8f(x) = x² karesel referans fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) x < 0 iken f(x) < 0'dır.
- B) f fonksiyonu bire birdir.
- C) Her x gerçek sayısı için f(x) ≥ 0'dır.
- D) f tüm gerçek sayılarda artandır.
- E) f'nin en büyük değeri 0'dır.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Her x gerçek sayısı için f(x) ≥ 0'dır.
Her gerçek sayının karesi sıfır ya da pozitiftir; bu nedenle f(x) ≥ 0'dır. f(−2) = f(2) = 4 olduğundan fonksiyon bire bir değildir ve 0 en büyük değil, en küçük değerdir.
Kolay
9Bir okul bahçesindeki kaydırağın profili f(x) = (x + 1)² − 4 fonksiyonunun grafiğiyle çiziliyor. Plan çizen öğrenci, eğrinin y eksenini kestiği noktayı bulmak istiyor. Bu nokta aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (0, −4)
- B) (0, −3)
- C) (0, 1)
- D) (−3, 0)
- E) (0, 3)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (0, −3)
y eksenini kestiği noktada x = 0'dır: f(0) = 1 − 4 = −3, nokta (0, −3) olur. (0, −4) tepe noktasının ordinatıdır; tepe noktası y ekseni üzerinde değildir.
Kolay
10Bir öğrenci, grafik uygulamasında y = x² eğrisini çiziyor ve eğrinin üzerindeki noktaların y değerlerinin hangi aralıkta kaldığını not etmek istiyor. f(x) = x² fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (−∞, ∞)
- B) (0, ∞)
- C) (−∞, 0]
- D) [1, ∞)
- E) [0, ∞)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) [0, ∞)
Bir sayının karesi negatif olamaz ve x = 0 için 0 değeri alınır; bu yüzden görüntü kümesi [0, ∞)'dur. (0, ∞) seçeneği 0 değerini dışarıda bıraktığı için yanlıştır.
Kolay
11Bir okul bahçesinde yukarı atılan topun t saniye sonraki yerden yüksekliği h(t) = −(t − 3)² + 9 metre ile modelleniyor. Top en yüksek noktasına atıldıktan kaç saniye sonra ulaşır?
- A) 9
- B) −3
- C) 3
- D) 6
- E) 1
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 3
a = −1 < 0 olduğundan en büyük değer tepe noktasında, t = 3 anında alınır. 9 ise ulaşılan en büyük yüksekliktir (metre), zaman değildir.
Kolay
12Bir öğrenci f(x) = x² fonksiyonunun grafiği üzerinde (−3, 9) noktasını işaretliyor. Grafiğin y eksenine göre simetrik olduğunu hatırlıyor. Aşağıdaki noktalardan hangisi de bu grafik üzerindedir?
- A) (−3, −9)
- B) (3, −9)
- C) (9, −3)
- D) (9, 3)
- E) (3, 9)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (3, 9)
f(3) = 9 olduğundan (3, 9) noktası grafiktedir; y eksenine göre simetride apsisin işareti değişir, ordinat aynı kalır. (−3, −9) noktası grafikte olamaz, çünkü x² hiçbir zaman negatif değildir.
Kolay
13Bir mimar, tepe noktası (2, −1) olan ve kolları yukarı bakan bir parabol çizecek. Bu parabol aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiği olabilir?
- A) f(x) = (x + 2)² − 1
- B) f(x) = −(x − 2)² − 1
- C) f(x) = (x − 1)² + 2
- D) f(x) = (x + 2)² + 1
- E) f(x) = (x − 2)² − 1
Cevabı göster
Doğru cevap: E) f(x) = (x − 2)² − 1
Tepe noktası (−r, k) = (2, −1) ise r = −2, k = −1 ve a > 0 olmalıdır: f(x) = (x − 2)² − 1. −(x − 2)² − 1 aynı tepe noktasına sahiptir ama kolları aşağı bakar.
Kolay
14Bir tasarım programında y = x² eğrisi seçilip bazı öteleme komutları uygulandıktan sonra eğrinin denklemi f(x) = (x + 4)² − 3 oluyor. Uygulanan öteleme aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 4 birim sağa, 3 birim aşağı
- B) 4 birim sola, 3 birim yukarı
- C) 3 birim sola, 4 birim aşağı
- D) 4 birim sola, 3 birim aşağı
- E) 4 birim sağa, 3 birim yukarı
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 4 birim sola, 3 birim aşağı
(x + 4)² ifadesi grafiği x ekseni boyunca 4 birim sola, −3 ise y ekseni boyunca 3 birim aşağı öteler. "+4 görünce sağa" düşünmek en sık yapılan yanlıştır.
Kolay
15Bir sulama kanalının kesiti, x ekseni zemin seviyesini göstermek üzere f(x) = 3(x + 1)² − 5 fonksiyonunun grafiğiyle modelleniyor; birimler metredir. Kanalın en derin noktasının ordinatı kaçtır?
- A) −1
- B) 3
- C) 5
- D) −5
- E) −3
Cevabı göster
Doğru cevap: D) −5
a = 3 > 0 olduğundan fonksiyonun minimum değeri k = −5'tir; en derin nokta (−1, −5) tepe noktasıdır. −1, bu noktanın apsisidir, ordinatı değildir.
Kolay
16Bir bisiklet yolunun çukur bölümünün kesiti f(x) = (x − 2)² + 1 fonksiyonunun grafiğiyle modelleniyor; bisikletli soldan sağa ilerliyor. Fonksiyonun artan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [2, ∞)
- B) (−∞, 2]
- C) [1, ∞)
- D) [−2, ∞)
- E) (−∞, 1]
Cevabı göster
Doğru cevap: A) [2, ∞)
a = 1 > 0 olduğundan fonksiyon tepe noktasının apsisinden (x = 2) sonra artar; artan olduğu aralık [2, ∞)'dur. [1, ∞) seçeneği tepe noktasının ordinatını apsis gibi kullanır.
Kolay
17Bir çizim uygulamasında y = x² eğrisi üzerindeki P(−2, 4) noktası işaretleniyor. Ardından eğriye 3 kat dikey germe uygulanarak y = 3x² eğrisi elde ediliyor; bu dönüşümde her noktanın apsisi aynı kalıyor. P noktası yeni eğri üzerinde hangi noktaya taşınır?
- A) (−6, 4)
- B) (−2, 12)
- C) (−2, 7)
- D) (−6, 12)
- E) (−2, 36)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (−2, 12)
3 kat dikey germede apsis değişmez, ordinat 3 ile çarpılır: (−2, 4) noktası (−2, 3 · 4) = (−2, 12) noktasına taşınır. Kontrol: y = 3 · (−2)² = 12. (−6, 4) ve (−6, 12) apsisin de 3 ile çarpıldığı yanılgısından, (−2, 7) ordinata 3 eklenmesinden, (−2, 36) ise 3'ün kare içine alınmasından [(3 · (−2))² = 36] gelir.
Kolay
18Bir terazinin ayar hatası, ayar düğmesinin konumu x olmak üzere f(x) = (x − 4)² ile modelleniyor; x her gerçek sayı değerini alabiliyor. Terazi, hata değeri pozitif olduğunda uyarı ışığını yakıyor. Uyarı ışığının yandığı x değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) R \ {4}
- B) R
- C) R \ {−4}
- D) (4, ∞)
- E) (−∞, 4)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) R \ {4}
Bir gerçek sayının karesi negatif olamaz; (x − 4)² yalnız x = 4 için 0'dır (çift kök), diğer bütün x değerlerinde pozitiftir. Bu yüzden ışık R \ {4} kümesinde yanar. R seçeneği x = 4'te hatanın 0 olduğunu gözden kaçırır; (4, ∞) ve (−∞, 4) ise tepe noktasının yalnız bir yanını alır, oysa parabol tepe noktasının iki yanında da x ekseninin üstündedir. R \ {−4}, (x − 4)² ifadesinin x = −4'te sıfır olduğu yanılgısından gelir.
Orta
19Bir fabrikada saatlik üretim miktarına bağlı birim maliyet, f(x) = x² − 6x + 11 fonksiyonuyla modelleniyor; x bin adet, f(x) yüz TL'dir. Yönetici, maliyetin en düşük olduğu üretim miktarını ve bu maliyeti grafiğin tepe noktasından okumak istiyor. Grafiğin tepe noktası hangisidir?
- A) (−3, 2)
- B) (3, 11)
- C) (6, 11)
- D) (−3, 38)
- E) (3, 2)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (3, 2)
Kareye tamamlanırsa f(x) = (x − 3)² + 2 olur; tepe noktası (3, 2)'dir, yani en düşük maliyet 3 bin adette 200 TL'dir. (3, 11)'i seçen öğrenci apsisi doğru bulmuş, ancak ordinat için f(3) yerine sabit terimi yazmıştır.
Orta
20Bir süs havuzundaki fıskiyeden fışkıran su, havuz zemininde iki noktaya düşüyor. Suyun yolu f(x) = −(x − 1)² + 9 fonksiyonunun grafiğiyle modelleniyor; x ekseni havuz zeminini gösteriyor ve birimler desimetredir. Suyun zemine düştüğü iki nokta arasındaki uzaklık kaç dm'dir?
- A) 3
- B) 9
- C) 6
- D) 8
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 6
f(x) = 0 için (x − 1)² = 9, x − 1 = ±3 ve x ∈ {−2, 4} bulunur; iki nokta arasındaki uzaklık 4 − (−2) = 6 dm'dir. 3'ü seçen öğrenci yalnızca tepe noktasından bir köke olan uzaklığı bulmuş, iki tarafı birlikte hesaba katmamıştır.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.