Rasyonel Fonksiyon ve Nitel Özellikleri

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

• MAT.10.4.4Gerçek sayılarda f(x) = 1/x

  • a) Rasyonel referans fonksiyonun nitel özelliklerini (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği) matematiksel temsilleri kullanarak belirler.
  • c) Rasyonel referans fonksiyonu grafik ve cebirsel temsili üzerinde yapılan işlemlerle diğer rasyonel fonksiyonlara dönüştürür.
  • ç) Rasyonel referans fonksiyon ile elde ettiği rasyonel fonksiyonların grafik ve cebirsel temsilleri arasındaki ilişkiyi ifade eder.
  • ğ) Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam bağlamlarındaki kullanışlılığını değerlendirir.

1. Kolay

   1Bir öğrenci, sıfır dışındaki gerçek sayılar için f(x) = 1/x değerlerini hesaplatıp grafiğini çizdiriyor. Grafiğin iki kolu da x eksenine giderek yaklaşıyor ama ekseni hiç kesmiyor; x sıfıra yaklaştıkça değerler mutlak değerce çok büyüyor. f fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) R
   • BB) (0, ∞)
   • CC) [0, ∞)
   • DD) R \ {0}
   • EE) R \ {1}
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) R \ {0}

   1/x hiçbir x için 0 olmaz; 0 dışındaki her y gerçek sayısı ise x = 1/y için alınır. Görüntü kümesi R \ {0}'dır. (0, ∞) seçeneği yalnızca sağdaki kolu dikkate alır; x < 0 için fonksiyon negatif değerler de alır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

2. Kolay

   2Bir sınıf, 1200 TL'lik gezi masrafını eşit paylaşacak; ancak gruptaki öğrencilerden 5'i burslu olduğu için ödeme yapmayacak. Gruptaki öğrenci sayısı x iken ödeme yapan kişi başına düşen tutar f(x) = 1200/(x − 5) TL'dir. f fonksiyonunu tanımsız yapan x değeri kaçtır?

   • AA) −5
   • BB) 0
   • CC) 1/5
   • DD) 5
   • EE) 6
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) 5

   Payda sıfır olduğunda bölme yapılamaz: x − 5 = 0 ise x = 5'tir; bu durumda ödeme yapacak kimse kalmaz. −5 seçeneği, paydadaki ifadenin işaretinin ters alınmasından doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

3. Kolay

   3Bir zeytinyağı atölyesinde 1 litre yağın ortalama maliyeti, haftada x yüz litre üretim yapıldığında f(x) = 2/(x + 1) + 3 yüz TL olarak hesaplanıyor. Sabit giderler üretime bölündüğü için çok üretildikçe litre başına maliyet düşüyor. Atölye bir haftada 100 litre yağ ürettiğinde 1 litre yağın ortalama maliyeti kaç TL olur?

   • AA) 400
   • BB) 500
   • CC) 300
   • DD) 350
   • EE) 200
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) 400

   100 litre x = 1'e karşılık gelir: f(1) = 2/(1 + 1) + 3 = 1 + 3 = 4 yüz TL, yani 400 TL'dir. 500 seçeneği, paydadaki +1 unutularak 2/1 + 3 = 5 yazılmasından doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

4. Kolay

   4Bir grup arkadaş, 600 TL'lik doğum günü pastasının ücretini eşit paylaşacak. Katılan kişi sayısı x iken kişi başına düşen tutar p(x) = 600/x TL'dir; bu kural f(x) = 1/x fonksiyonunun 600 katıdır. f(x) = 1/x fonksiyonu (0, ∞) aralığında nasıl bir değişim gösterir?

   • AA) Artandır.
   • BB) Sabittir.
   • CC) Azalandır.
   • DD) Önce artar, sonra azalır.
   • EE) Önce azalır, sonra artar.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) Azalandır.

   x büyüdükçe 1/x küçülür: f(1) = 1, f(2) = 1/2, f(4) = 1/4; tıpkı kişi sayısı arttıkça payın düşmesi gibi. Fonksiyon (0, ∞) aralığında azalandır. "Önce azalır, sonra artar." seçeneği yanlıştır; değerler azalarak 0'a yaklaşır ama hiç artmaya başlamaz.

   Hata mı var? Düzeltme öner

5. Kolay

   5Bir öğrenci f(x) = 4/x fonksiyonunun grafiği üzerinde bulunan noktaları işaretliyor. Aşağıdaki noktalardan hangisi bu grafik üzerindedir?

   • AA) (2, −2)
   • BB) (−2, 2)
   • CC) (4, 4)
   • DD) (8, 2)
   • EE) (−2, −2)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) (−2, −2)

   f(−2) = 4/(−2) = −2 olduğundan (−2, −2) grafiktedir. (2, −2) noktası olamaz, çünkü x > 0 iken 4/x pozitiftir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

6. Kolay

   6Bir program, girilen x sayısı için f(x) = 1/(x + 5) değerini hesaplıyor. Programın hangi x değeri için sonuç veremeyeceği aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) 5
   • BB) 0
   • CC) −5
   • DD) 1/5
   • EE) −1/5
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) −5

   x = −5 için payda x + 5 = 0 olur ve fonksiyon tanımsızdır. 5 cevabı, paydadaki sayının işaretiyle birlikte alınmasından doğan bir yanılgıdır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

7. Kolay

   7Ece, f(x) = 1/x fonksiyonunun değerlerini x = 0,1, x = 0,01 ve x = 0,001 için hesaplıyor ve sırasıyla 10, 100 ve 1000 buluyor. Bu gözleme göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) f'nin en büyük değeri 1000'dir.
   • BB) x sıfıra yaklaştıkça f(x) sıfıra yaklaşır.
   • CC) x sıfıra yaklaştıkça f(x) sınırsız büyür.
   • DD) f(0) değeri 10 000'dir.
   • EE) f, (0, ∞) aralığında artandır.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) x sıfıra yaklaştıkça f(x) sınırsız büyür.

   x pozitif yönden sıfıra yaklaştıkça 1/x sınırsız büyür; bu yüzden fonksiyonun en büyük değeri yoktur. 1000 yalnızca denenen değerlerin en büyüğüdür; f(0) ise tanımsızdır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

8. Kolay

   8Bir öğrenci, f(x) = 1/x fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kesip kesmediğini merak ediyor. f(x) = 1/x fonksiyonunun sıfırı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) Fonksiyonun sıfırı x = 0'dır.
   • BB) Fonksiyonun sıfırı x = 1'dir.
   • CC) Fonksiyonun sıfırı x = −1'dir.
   • DD) Fonksiyonun sıfırı yoktur.
   • EE) Fonksiyonun iki sıfırı vardır.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) Fonksiyonun sıfırı yoktur.

   Payı 1 olan bir kesir hiçbir x için 0 olmaz; bu yüzden grafik x eksenini kesmez. x = 0 sıfır değildir, fonksiyonu tanımsız yapan değerdir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

9. Kolay

   9Bir öğrenci f(x) = 1/x fonksiyonu için şu tabloyu hazırlıyor: x: 1, 2, 4, 8 f(x): 1, 1/2, 1/4, 1/8 Tabloya göre f fonksiyonu (0, ∞) aralığında nasıl davranır?

   • AA) Artandır.
   • BB) Sabittir.
   • CC) Azalandır.
   • DD) Önce artan, sonra azalandır.
   • EE) Önce azalan, sonra artandır.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) Azalandır.

   x büyüdükçe f(x) değerleri küçülmektedir; fonksiyon (0, ∞) aralığında azalandır. Paydanın büyümesiyle değerin artacağını düşünmek, kesrin değerini yanlış yorumlamaktır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

10. Kolay

    10Bir laboratuvar programı ölçümleri f(x) = 2/(x + 1) − 3 formülüyle dönüştürüyor. Bu fonksiyonun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) R \ {1}
    • BB) R \ {−1}
    • CC) R \ {−3}
    • DD) R \ {3}
    • EE) R \ {2}
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) R \ {−1}

    Payda x + 1 = 0 iken, yani x = −1'de fonksiyon tanımsızdır; tanım kümesi R \ {−1}'dir. R \ {−3}, görüntü kümesidir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

11. Kolay

    11Bir mühendis f(x) = 3/(x − 1) − 4 fonksiyonunun hiç almadığı değeri belirlemek istiyor. Fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) R \ {1}
    • BB) R \ {4}
    • CC) R \ {−1}
    • DD) R \ {3}
    • EE) R \ {−4}
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) R \ {−4}

    f(x) = a/(x + r) + k biçiminde görüntü kümesi R \ {k}'dir; burada k = −4 olduğundan görüntü kümesi R \ {−4} olur. R \ {1}, tanım kümesidir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

12. Kolay

    12Bir öğrenci hesap makinesinde 1 ÷ 0 işlemini yaptığında ekranda "Hata" yazısını görüyor. f(x) = 1/x fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) R \ {0}
    • BB) R
    • CC) (0, ∞)
    • DD) R \ {1}
    • EE) [0, ∞)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) R \ {0}

    Payda sıfır olamayacağı için x = 0 dışındaki tüm gerçek sayılar tanım kümesindedir: R \ {0}. (0, ∞) seçeneği, negatif sayılar için de tanımlı olan fonksiyonu yalnızca pozitiflerle sınırlar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

13. Kolay

    13Bir havuz, aynı debideki 4 muslukla 6 saatte doluyor. Açık musluk sayısı n iken dolum süresi f(n) = 24/n saattir. Aynı havuz 8 muslukla kaç saatte dolar?

    • AA) 12
    • BB) 2
    • CC) 4
    • DD) 10
    • EE) 3
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 3

    f(8) = 24/8 = 3 saattir; musluk sayısı 2 katına çıkınca süre yarıya iner. 12 cevabı, ters orantıyı doğru orantı gibi düşünmekten gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

14. Kolay

    14Bir öğrenci f(x) = 1/x fonksiyonunun grafiğini çiziyor ve grafiğin bir kolunun x ekseninin altında kaldığını görüyor. f(x) < 0 olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) (0, ∞)
    • BB) R
    • CC) (−1, 1)
    • DD) (−∞, 0)
    • EE) (−∞, −1)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) (−∞, 0)

    1/x ifadesinin işareti x'in işaretiyle aynıdır; x < 0 iken f(x) < 0'dır. (−∞, −1) aralığı doğru ama eksiktir, −1 ile 0 arasındaki değerler de negatiftir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

15. Kolay

    1512 m uzunluğundaki bir kurdele eşit uzunlukta parçalara kesiliyor. Parça sayısı x iken bir parçanın uzunluğu f(x) = 12/x metredir. Parçaların her biri 1,5 m ise kurdele kaç parçaya kesilmiştir?

    • AA) 8
    • BB) 18
    • CC) 6
    • DD) 16
    • EE) 10
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 8

    12/x = 1,5 ise x = 12 / 1,5 = 8'dir. 18 cevabı, uzunluğu 1,5 ile bölmek yerine çarpmaktan doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

16. Kolay

    16Bir grafik uygulamasında y = 1/x eğrisi ötelenerek f(x) = 1/(x − 3) + 2 eğrisi elde ediliyor. Uygulanan öteleme aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) 3 birim sola, 2 birim yukarı
    • BB) 3 birim sağa, 2 birim yukarı
    • CC) 3 birim sağa, 2 birim aşağı
    • DD) 2 birim sağa, 3 birim yukarı
    • EE) 3 birim sola, 2 birim aşağı
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 3 birim sağa, 2 birim yukarı

    Paydadaki (x − 3) grafiği 3 birim sağa, +2 ise 2 birim yukarı öteler; tanımsız yapan değer 0'dan 3'e kayar. Sola öteleme için paydada (x + 3) olmalıdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

17. Kolay

    17Bir öğretmen, öğrencilerinden f(x) = a/x biçimindeki bir rasyonel fonksiyonla, yani ters orantıyla modellenebilecek bir durum bulmalarını istiyor. Aşağıdaki durumlardan hangisinde ikinci nicelik, birinci niceliğe bağlı olarak böyle bir fonksiyonla modellenir?

    • AA) 240 km'lik yolu sabit hızla giden bir aracın hızı ile yolculuk süresi
    • BB) Saat ücreti 300 TL olan bir ustanın çalıştığı süre ile toplam kazancı
    • CC) Kare biçimli bir bahçenin bir kenarının uzunluğu ile bahçenin alanı
    • DD) Tanesi 15 TL olan defterlerden alınan defter sayısı ile ödenen tutar
    • EE) Kare biçimli bir masa örtüsünün alanı ile bir kenarının uzunluğu
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 240 km'lik yolu sabit hızla giden bir aracın hızı ile yolculuk süresi

    Yol sabitken süre = yol / hız olduğundan t(v) = 240/v'dir; hız arttıkça süre azalır ve hız ile sürenin çarpımı hep 240'tır (ters orantı). Ustanın kazancı (300x) ve defterlere ödenen tutar (15x) doğrusal, bahçenin alanı (x²) karesel, masa örtüsünün kenar uzunluğu (√x) ise karekök fonksiyonuyla modellenir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

18. Kolay

    18Bir öğrenci f(x) = 1/x fonksiyonunun grafiğini çiziyor ve grafik üzerinde (2, 1/2) noktasını işaretliyor. Öğretmeni, bu grafiğin orijine göre simetrik olduğunu, yani grafik üzerindeki her (a, b) noktası için (−a, −b) noktasının da grafik üzerinde bulunduğunu söylüyor. Buna göre aşağıdaki noktalardan hangisi de bu grafik üzerindedir?

    • AA) (−2, 1/2)
    • BB) (2, −1/2)
    • CC) (1/2, −2)
    • DD) (−2, 2)
    • EE) (−2, −1/2)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) (−2, −1/2)

    (2, 1/2) noktasının orijine göre simetriği, iki koordinatın da işareti değiştirilerek bulunur: (−2, −1/2). Kontrol: f(−2) = 1/(−2) = −1/2. (−2, 1/2) noktası y eksenine göre, (2, −1/2) noktası x eksenine göre simetriktir; f(−2) = 1/2 ya da f(2) = −1/2 olmadığından bu noktalar grafik üzerinde değildir. f(1/2) = 2 olduğundan (1/2, −2) de, f(−2) = −1/2 olduğundan (−2, 2) de grafik üzerinde değildir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

19. Orta

    19Bir oyun tasarımcısı, ekrandaki bir ışık izini y = 1/x eğrisiyle çiziyor. Sahnenin düzeni değişince eğrinin biçimi aynı kalacak biçimde onu 4 birim sola ve 1 birim aşağı kaydırması gerekiyor. Yeni ışık izinin kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) y = 1/(x − 4) − 1
    • BB) y = 1/(x + 1) − 4
    • CC) y = 1/(x + 4) + 1
    • DD) y = 1/(x − 4) + 1
    • EE) y = 1/(x + 4) − 1
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) y = 1/(x + 4) − 1

    Sola 4 birim öteleme için x yerine x + 4, aşağı 1 birim öteleme için sona −1 yazılır: y = 1/(x + 4) − 1. y = 1/(x − 4) − 1 seçeneği, sola ötelemenin x − 4 ile yapıldığını sanmaktan doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

20. Orta

    20Ayşe ailesiyle arabayla 120 km uzaklıktaki bir şehre gidecek. Sabit v km/sa hızla gidildiğinde yolculuk süresi t(v) = 120/v saattir; ailenin buluşmaya yetişmek için 1 saat 30 dakikası var. Tam zamanında varmak için aracın sabit hızı kaç km/sa olmalıdır?

    • AA) 60
    • BB) 80
    • CC) 90
    • DD) 180
    • EE) 100
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 80

    1 saat 30 dakika 1,5 saattir: 120/v = 1,5 ise v = 120/1,5 = 80 km/sa'tir. 180 seçeneği, süreyle uzaklığın çarpılmasından (120 · 1,5) doğar; hız, uzaklığın süreye bölümüdür.

    Hata mı var? Düzeltme öner