11. Sınıf Matematik · Geometrik Şekiller

Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

dışbükey çokgen
düzgün çokgen
köşegen
iç açı
dış açı
simetri
alan

Dışbükey çokgenlerin köşegen ve açı özellikleri nelerdir?

Dışbükey çokgenlerde n kenar sayısı olmak üzere köşegen sayısı n · (n − 3)/2, iç açılar toplamı (n − 2) · 180°, dış açılar toplamı ise her zaman 360°'dir. Bir köşeden n − 3 köşegen çizilebilir ve bu köşegenler çokgeni n − 2 üçgene ayırır; örneğin onikigenin 12 · 9 / 2 = 54 köşegeni vardır. Düzgün çokgende tüm kenarlar ve açılar eşittir; bir dış açı 360°/n, bir iç açı 180° − 360°/n olur, bu nedenle düzgün sekizgende dış açı 45°, iç açı 135°'dir. Düzgün n-genin n simetri ekseni vardır ve düzgün beşgenin bütün köşegenleri eşittir. Kenarı a olan düzgün altıgen 6 eşkenar üçgenden oluşur. İç açıdan kenar sayısına geçmek için önce dış açı bulunur: iç açı 140° ise dış açı 40° ve n = 360/40 = 9 olur. Çokgenleri üçgenlere ayırarak inceleme yönteminin temelleri, 10. yüzyılda yaşayan Farabi'nin çalışmalarına dayanır.

Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri: konu anlatımı ve özeti

Bu konu dışbükey çokgenlerin köşegen sayısı, iç ve dış açıları, düzgün çokgenlerin simetrisi ve alanı hakkındaki genel kuralları veriyor. Bu kurallar n kenarlı her çokgen için tek bir formülle çalışır.

n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden n − 3 köşegen çizilebilir ve bu köşegenler çokgeni n − 2 üçgene ayırır. Toplam köşegen sayısı n · (n − 3)/2'dir. Örnek: Onikigenin 12 · 9 / 2 = 54 köşegeni vardır.
Altıgende bir köşeden çizilen 3 köşegen çokgeni 4 üçgene ayırır; iç açılar toplamı 4 · 180° = 720°
İç açılar toplamı (n − 2) · 180°'dir. Dış açılar toplamı ise kenar sayısından bağımsız olarak her zaman 360°'dir.
Düzgün çokgende tüm kenarlar ve tüm açılar eşittir. Bir dış açı 360°/n, bir iç açı 180° − 360°/n olur. Örnek: Düzgün sekizgende bir dış açı 45°, bir iç açı 135°'dir.
Düzgün n-genin n simetri ekseni vardır. n tekse eksenler bir köşeden karşı kenarın orta noktasına gider. n çiftse eksenlerin bir kısmı köşeden köşeye, bir kısmı kenar ortasından kenar ortasına gider.
Düzgün beşgenin bütün köşegenleri eşittir. Kenarı a olan düzgün altıgenin iki farklı köşegen uzunluğu vardır: a√3 ve 2a.
Alan: Merkez köşelere birleştirilince n tane eş ikizkenar üçgen oluşur. Kenarı a olan düzgün altıgen 6 eşkenar üçgenden oluşur, alanı 6 · a²√3/4'tür. a = 2 için 6√3 birimkare olur.

Unutma: İç açıdan kenar sayısına giderken önce dış açıyı bul: iç açı 140° ise dış açı 40° olur, n = 360/40 = 9.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Çokgen formüllerini ezberlemek yerine bir köşeden başlayarak kendin üretebilirsin.

Altıgenin bir köşesini seç. Kendisine ve iki komşusuna köşegen çizilmez; geriye 6 − 3 = 3 köşegen kalır.
Bu 3 köşegen altıgeni 4 üçgene ayırır; iç açılar toplamı 4 · 180° = 720° olur.
Her köşeden 3 köşegen çıkar ama her köşegen iki kez sayılır: 6 · 3 / 2 = 9 köşegen.

Aynı yol n kenarlı çokgende n − 3 köşegen, n − 2 üçgen ve n · (n − 3)/2 köşegen verir.

Günlük hayattan: Klasik futbol topundaki düzgün beşgenlerin bir iç açısı 180° − 72° = 108°, düzgün altıgenlerin bir iç açısı 180° − 60° = 120°'dir.

Sık yapılan hata: Kenar sayısı arttıkça dış açılar toplamının da arttığını sanmak. Doğrusu: Dış açılar toplamı her dışbükey çokgende 360°'dir; kenar sayısı artınca her bir dış açı küçülür.

Derinleş

Bir toplantıya katılan n kişinin her biri diğer herkesle bir kez tokalaşıyor. Kişileri bir düzgün çokgenin köşeleri olarak düşün: Tokalaşmaların bir kısmı kenarlara, bir kısmı köşegenlere karşılık gelir. Toplam tokalaşma sayısını bu modelle bul ve 10. sınıfta öğrendiğin sayma stratejileriyle elde ettiğin sonuçla karşılaştır. Hangi yöntem daha büyük n değerleri için daha kullanışlı, neden?

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.11.2.4Dışbükey çokgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerine dair çıkarım
- b) Varsayımlarını kullanarak dışbükey çokgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerine ilişkin örüntüleri geneller.
- c) Dışbükey çokgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerine ilişkin genellemelerini varsayımları ile karşılaştırır.
- ç) Elde ettiği genellemeleri kullanarak dışbükey çokgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerine ilişkin önermeler sunar.
- d) Dışbükey çokgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerine ilişkin sunduğu önermeleri problem durumlarına uyarlayarak kullanışlılık açısından değerlendirir.

Bu konuda neler var?

Dışbükey Çokgenlerin Köşegen ve Açı Özellikleri
Düzgün Çokgenlerin Bir İç ve Bir Dış Açısının Ölçüsünü Bulma
Düzgün Çokgenlerin Köşegen ve Simetri Özellikleri
Düzgün Çokgenlerde Alan Hesabı

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir kır düğününde dışbükey ongen biçimli bir çadır kuruluyor. Görevliler çadırın bir köşesinden, komşu olmayan bütün köşelere birer süs ipi germek istiyor. Bu köşeden kaç süs ipi gerilebilir?
- A) 8
- B) 10
- C) 35
- D) 7
- E) 9
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 7
Bir köşeden kendisine ve iki komşusuna köşegen çizilemez; ongende bir köşeden 10 − 3 = 7 köşegen çıkar. 9 sonucu, yalnızca köşenin kendisinin dışarıda bırakılıp komşu köşelere de ip gerilebileceğinin sanılmasından doğar.
Kolay
2Bir robot, dışbükey on beşgen biçimli bir pistin kenarları boyunca dolaşıyor ve her köşede yönünü bir sonraki kenara çeviriyor. Bir tam tur attıktan sonra başladığı yönde durduğu görülüyor. Robotun köşelerde döndüğü açıların, yani pistin dış açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?
- A) 360
- B) 180
- C) 2340
- D) 2700
- E) 5400
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 360
Dışbükey bir çokgenin çevresinde bir tur atan robot, köşelerde döndüğü açıların toplamıyla tam bir dönüş (360°) yapar; bu toplam kenar sayısından bağımsızdır. 2340 sonucu on beşgenin iç açıları toplamıdır, (15 − 2) · 180°.
Kolay
3Bir çocuk, ön yüzü ev biçiminde olan bir kuş yuvasının çerçevesini çiziyor: altta dikdörtgenin üç kenarı, üstte iki eğik çatı kenarı var ve şekil dışbükey bir beşgen oluşturuyor. Çerçevenin köşelerindeki açıları açıölçerle ölçüp topluyor. Bu beşgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?
- A) 360
- B) 720
- C) 900
- D) 450
- E) 540
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 540
Dışbükey n-genin iç açıları toplamı (n − 2) · 180°'dir; beşgen için 3 · 180° = 540°. 720 sonucu, formülde n − 2 yerine n − 1 kullanılmasından doğar.
Kolay
4Bir duvar saatinin kasası düzgün onikigen biçimindedir. Saatçi, kasanın her köşesinde bir kenarın uzantısı ile sonraki kenar arasındaki açıyı ölçerek kesim makinesini ayarlayacak. Bu düzgün onikigenin bir dış açısı kaç derecedir?
- A) 24
- B) 36
- C) 150
- D) 30
- E) 15
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 30
Dışbükey çokgenin dış açıları toplamı 360° olduğundan düzgün onikigenin bir dış açısı 360° / 12 = 30°'dir. 150 sonucu bir iç açının ölçüsüdür; dış açı ile iç açı karıştırılmıştır.
Kolay
5Bir saat kadranının çerçevesi düzgün ongen biçimindedir. Bu çerçevenin bir iç açısı kaç derecedir?
- A) 36
- B) 160
- C) 150
- D) 144
- E) 108
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 144
Düzgün ongende bir dış açı 360° : 10 = 36°, bir iç açı 180° − 36° = 144°'dir. 36° dış açının ölçüsüdür.
Kolay
6Düzgün beşgen biçimli bir pistte koşan bir sporcu her köşede yönünü dış açı kadar değiştiriyor. Bu pistin bir dış açısı kaç derecedir?
- A) 108
- B) 60
- C) 72
- D) 90
- E) 36
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 72
Düzgün çokgende bir dış açı 360°/n'dir: 360° : 5 = 72°. 108° düzgün beşgenin iç açısıdır.
Kolay
7Bir oyun alanının sınırı dışbükey yedigen biçimindedir. Bu yedigenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?
- A) 1260
- B) 720
- C) 1080
- D) 900
- E) 360
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 900
İç açılar toplamı (n − 2) · 180° formülüyle bulunur: (7 − 2) · 180° = 900°. 1260 sonucu n · 180° hesabından gelir.
Kolay
8Kenarı 5 cm olan düzgün altıgen biçimli bir kurabiye kalıbının birbirine en uzak iki köşesi arasındaki uzaklık kaç santimetredir?
- A) 10
- B) 5√3
- C) 5
- D) 15
- E) 5√2
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 10
Kenarı a olan düzgün altıgenin uzun köşegeni 2a'dır: 2 · 5 = 10 cm. 5√3 cm ise kısa köşegenin uzunluğudur.
Kolay
9Düzgün beşgen biçimli bir pano üzerine bütün köşegenler boyunca şerit yapıştırılıyor. Köşegenlerden biri 8 dm olduğuna göre diğer köşegenlerle ilgili hangisi doğrudur?
- A) Hepsinin uzunluğu 8 dm'dir.
- B) Uzunlukları 8 dm ve 16 dm olmak üzere iki farklıdır.
- C) Uzunlukları beşgenin kenarına eşittir.
- D) Her biri 4 dm'dir.
- E) Uzunlukları birbirinden farklıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Hepsinin uzunluğu 8 dm'dir.
Düzgün beşgenin bütün köşegenleri eşit uzunluktadır. İki farklı köşegen uzunluğu düzgün altıgende görülür.
Kolay
10Düzgün sekizgen biçimli bir masa örtüsü, katlandığında iki yarısı tam üst üste gelecek biçimde kaç farklı doğru boyunca katlanabilir?
- A) 8
- B) 4
- C) 16
- D) 2
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 8
Düzgün n-genin n simetri ekseni vardır; düzgün sekizgende 8 eksen bulunur. 4 cevabı yalnızca köşeden köşeye giden eksenleri saymaktan gelir.
Kolay
11Dışbükey onbirgen biçimli bir çadırın bir köşesinden, komşu olmayan bütün köşelere birer ip geriliyor. Kaç ip gerilir?
- A) 9
- B) 11
- C) 8
- D) 10
- E) 44
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 8
Bir köşeden n − 3 köşegen çizilir: 11 − 3 = 8. 10 sonucu yalnızca köşenin kendisini çıkarıp komşuları çıkarmamaktan gelir.
Kolay
12Dışbükey altıgen biçimli bir bahçede, komşu olmayan her iki köşe arasına bir yol yapılacak. Toplam kaç yol yapılır?
- A) 9
- B) 18
- C) 6
- D) 3
- E) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 9
Toplam köşegen sayısı n · (n − 3)/2 = 6 · 3 / 2 = 9'dur. 18 sonucu her köşegenin iki kez sayılmasından gelir.
Kolay
13Dışbükey bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 1440°'dir. Bu çokgen kaç kenarlıdır?
- A) 8
- B) 12
- C) 10
- D) 9
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 10
(n − 2) · 180° = 1440° ⇒ n − 2 = 8 ⇒ n = 10. 8 sonucu n − 2 değerini kenar sayısı sanmaktan gelir.
Kolay
14Dışbükey sekizgen biçimli bir pasta, bir köşeden diğer köşelere düz kesimler yapılarak üçgen dilimlere ayrılıyor. Bir köşeden çizilebilen bütün köşegenler boyunca kesilirse kaç üçgen dilim oluşur?
- A) 5
- B) 6
- C) 8
- D) 7
- E) 20
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 6
Bir köşeden n − 3 = 5 köşegen çizilir ve bunlar çokgeni n − 2 = 6 üçgene ayırır. 5 sonucu köşegen sayısını üçgen sayısı sanmaktan gelir.
Kolay
15Bir robot, dışbükey yirmigen biçimli bir pistin çevresini bir kez dolaşıyor ve her köşede dış açı kadar dönüyor. Robotun bütün köşelerde döndüğü açıların toplamı kaç derecedir?
- A) 3240
- B) 3600
- C) 180
- D) 360
- E) 720
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 360
Dışbükey bir çokgenin dış açıları toplamı kenar sayısından bağımsız olarak 360°'dir. 3240° ise yirmigenin iç açıları toplamıdır.
Kolay
16Düzgün bir çokgenin bir dış açısı 24°'dir. Bu çokgen kaç kenarlıdır?
- A) 12
- B) 24
- C) 18
- D) 15
- E) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 15
Düzgün çokgende dış açı 360°/n olduğundan n = 360 : 24 = 15'tir. 18 sonucu bölmede yapılan hatadan gelir.
Kolay
17Bir seramik atölyesinde her iç açısı 144° olan düzgün çokgen biçimli bir tabak tasarlanıyor. Tabağın üzerine bütün simetri eksenleri çizilecek. Kaç eksen çizilir?
- A) 6
- B) 7
- C) 8
- D) 9
- E) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 10
Bir dış açı 180° − 144° = 36°'dir. Kenar sayısı n = 360/36 = 10 olur. Düzgün n-genin n simetri ekseni vardır; bu yüzden 10 eksen çizilir.
Kolay
18Bir koşu pistinin sınırı dışbükey altıgen biçimindedir. Pisti bir kez dolaşan Zeynep, ilk beş köşede yönünü toplam 300° değiştiriyor. Altıncı köşedeki iç açı kaç derecedir?
- A) 60
- B) 90
- C) 120
- D) 135
- E) 150
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 120
Dışbükey çokgende her köşede yönün değiştiği açı dış açıdır ve dış açıların toplamı 360°'dir. Altıncı köşedeki dış açı 360° − 300° = 60° olur. Aynı köşedeki iç açı ile dış açı bütünler olduğundan iç açı 180° − 60° = 120° bulunur. 60 yanıtı dış açıyı iç açı sanmaktan gelir.
Orta
19Bir sergi salonunun tabanı dışbükey on dörtgen biçimindedir. Tasarımcı, karşılıklı köşeler arasına tavandan sarkan ışıklı şeritlerle salonun bütün köşegenlerini çizmek istiyor. Kaç ışıklı şerit gerekir?
- A) 66
- B) 91
- C) 154
- D) 84
- E) 77
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 77
Dışbükey n-genin köşegen sayısı n(n − 3)/2'dir: 14 · 11 / 2 = 77. 154 sonucu, her köşegenin iki uçtan iki kez sayıldığının unutulup 2'ye bölünmemesinden doğar.
Orta
20Bir mozaik atölyesinde düzgün altıgen biçimli bir parça kesiliyor; parçanın alanı 24√3 cm² olacak. Usta, kesimden önce altıgenin bir kenar uzunluğunu bilmek istiyor. Bu düzgün altıgenin bir kenarı kaç cm'dir?
- A) 2
- B) 4
- C) 2√2
- D) 8
- E) 4√2
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 4
Düzgün altıgen 6 eşkenar üçgene ayrılır; alanı 6 · (√3/4) · a² = 24√3 ise a² = 16 ve a = 4 cm'dir. 2√2 sonucu, altıgenin alanının 6 değil 12 eşkenar üçgenmiş gibi hesaplanmasından (a² = 8) doğar.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.