11. Sınıf Matematik · Geometrik Şekiller
Dörtgenlerde Alan Özellikleri
- alan
- köşegen
- deltoid
- yamuk
- paralelkenar
- sinüs
- simetri
Köşegenleri bilinen bir dörtgenin alanı nasıl bulunur?
Köşegen uzunlukları e ve f, köşegenler arasındaki açı α olan dışbükey bir dörtgenin alanı A = (1/2) · e · f · sin α formülüyle bulunur. Örneğin e = 12 cm, f = 10 cm ve α = 30° ise alan (1/2) · 12 · 10 · (1/2) = 30 cm² olur. Köşegenler dik kesişiyorsa sin 90° = 1 olduğundan alan e · f / 2'ye eşittir. Köşegenler dörtgeni dört üçgene böler ve karşılıklı iki üçgenin alanları çarpımı, diğer iki üçgenin alanları çarpımına eşittir. Yamukta alan (a + c)/2 · h formülüyle bulunur; paralelkenarda ise köşegenlerin ayırdığı her üçgen toplam alanın 1/4'üdür. Deltoid, tabanları ortak iki ikizkenar üçgenden oluşur ve köşegenleri diktir; köşegenleri 8 cm ve 6 cm olan deltoidin alanı 24 cm²'dir. A = e · f / 2 formülü her dörtgende değil, yalnızca eşkenar dörtgen, kare ve deltoid gibi köşegenleri dik olan dörtgenlerde geçerlidir.
Dörtgenlerde Alan Özellikleri: konu anlatımı ve özeti
Bu konu, dörtgenlerin alanını köşegenler ve aralarındaki açı yardımıyla bulmayı anlatıyor. Deltoid adlı özel dörtgen de burada tanıtılıyor.
- Köşegen uzunlukları e ve f, köşegenler arasındaki açı α olan her dışbükey dörtgende alan A = (1/2) · e · f · sin α'dır. Örnek: e = 12 cm, f = 10 cm, α = 30° ise A = (1/2) · 12 · 10 · (1/2) = 30 cm² olur.
Köşegenleri 12 cm ve 10 cm, köşegenler arasındaki açısı 30° olan dörtgen; alanı 30 cm² - Köşegenler dik kesişiyorsa sin 90° = 1 olduğundan alan A = e · f / 2'dir.
- Köşegenler dörtgeni dört üçgene böler. Karşılıklı iki üçgenin alanları çarpımı, diğer iki üçgenin alanları çarpımına eşittir: S1 · S3 = S2 · S4.
- Yamukta alan A = (a + c)/2 · h'dir; a ve c tabanlar, h yüksekliktir. Köşegenlerin yan kenarlara bitişik oluşturduğu iki üçgenin alanları eşittir.
- Paralelkenarın köşegenleri, alanı dört eşit parçaya böler; her üçgen toplam alanın 1/4'üdür.
- Bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştirilirse bir paralelkenar oluşur. Bu paralelkenarın kenarları köşegenlerin yarısı kadardır, alanı ise ana dörtgenin alanının yarısıdır.
- Deltoid, tabanları ortak iki ikizkenar üçgenden oluşur ve iki çift komşu kenarı eşittir. Köşegenleri diktir; ana köşegen simetri eksenidir ve diğer köşegeni ortalar. Örnek: Köşegenleri 8 cm ve 6 cm olan deltoidin alanı 8 · 6 / 2 = 24 cm²'dir.
Unutma: A = e · f / 2 formülü yalnızca köşegenler dik olduğunda geçerlidir. Diğer durumlarda sin α çarpanını unutma.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Önce temeli pekiştir
Bir dörtgenin alanını köşegenlerle bulmak için önce köşegenlerin nasıl kesiştiğine bak.
- Köşegen uzunluklarını (e ve f) ve aralarındaki açıyı (α) belirle.
- Köşegenler dikse alan e · f / 2'dir.
- Dik değilse sinüs çarpanını ekle: A = (1/2) · e · f · sin α.
Günlük hayattan: Köşegenleri 60 cm ve 40 cm olan bir uçurtma (deltoid) yapmak için 60 · 40 / 2 = 1200 cm² kumaş gerekir. Köşegenleri 10 m ve 8 m olup 150°'lik açıyla kesişen bir arsanın alanı ise (1/2) · 10 · 8 · sin 150° = (1/2) · 80 · (1/2) = 20 m² olur.
Sık yapılan hata: e · f / 2 formülünü her dörtgende kullanmak. Doğrusu: Bu formül yalnızca köşegenler dik olduğunda geçerlidir; yukarıdaki arsada sinüsü unutursan 40 m² bulursun ve alanı iki katı hesaplamış olursun.
Derinleş
Dörtgen biçimli bir tarla, iki kardeş arasında alanları eşit olacak şekilde tek bir düz çitle paylaştırılacak. Tarla paralelkenar, yamuk ya da genel bir dörtgen olduğunda çiti nereden geçirirdin? Çözümünü bir çizimle göster. Alanların eşit olması paylaşımın adil olması için yeterli midir? Su kaynağına ya da yola uzaklık gibi başka hangi ölçütler hesaba katılmalı, tartış.
Öğrenme çıktıları
Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.
MAT.11.2.1Üçgenlerde açı, benzerlik ve alan özelliklerinden yola çıkarak dörtgenlerin açı,
- a) Dörtgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerine ilişkin varsayımlarda bulunur.
- c) Dörtgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerine ilişkin varsayımları ile genellemelerini karşılaştırır.
- d) Dörtgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerine ilişkin sunduğu önermeleri yeni durumlara uyarlayarak değerlendirir.
- e) Elde ettiği önermeleri üçgenlerde açı, benzerlik ve alan özelliklerini kullanarak ispatlar.
Bu konuda neler var?
- Deltoid
Sorular
Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.
Kolay
1Burak, iki çıtayı birbirine çaprazlama bağlayıp kenarlarına kâğıt gererek bir uçurtma yapıyor; uçurtmanın üstteki iki kenarı birbirine, alttaki iki kenarı da birbirine eşit. Böylece uçurtma deltoid biçiminde oluyor. Bu uçurtmanın çıtaları için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
- A) Çıtalar eşit uzunluktadır.
- B) Çıtalar birbirini ortalar.
- C) Karşılıklı kenarlar paraleldir.
- D) Çıtalar birbirine diktir.
- E) Dört kenar eşit uzunluktadır.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Çıtalar birbirine diktir.
Deltoidde ana köşegen simetri eksenidir ve diğer köşegeni dik keserek ortalar; bu yüzden çıtalar her zaman birbirine diktir. "Birbirini ortalar" seçeneği yalnızca eşkenar dörtgen gibi özel deltoidlerde doğrudur; genel bir deltoidde yalnız biri diğerini ortalar.
Kolay
2Bir halı atölyesinde dokunan kilimin ortasında eşkenar dörtgen biçimli bir motif bulunuyor. Motifin köşegenleri 9 cm ve 14 cm'dir; motifin içi tek renk iple dolduruluyor. Motifin alanı kaç cm²'dir?
- A) 23
- B) 63
- C) 31,5
- D) 126
- E) 46
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 63
Eşkenar dörtgenin köşegenleri dik kesiştiği için alan köşegenler çarpımının yarısıdır: 9 · 14 / 2 = 63 cm². 126 sonucu, çarpımın ikiye bölünmesinin unutulmasından doğar.
Kolay
3Alanı 48 m² olan ABCD paralelkenarı biçimli bir bahçe, köşegenler boyunca yapılan iki yolla dört parçaya bölünüyor; yollar O noktasında kesişiyor. AOB parçasına sebze ekilecek. Sebze ekilecek AOB parçasının alanı kaç m²'dir?
- A) 6
- B) 16
- C) 24
- D) 8
- E) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 12
Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığından oluşan dört üçgenin tabanları ve yükseklikleri ikişer ikişer eşittir; dördünün de alanı 48 / 4 = 12 m²'dir. 24 sonucu, tek bir köşegenin ayırdığı üçgenin, yani paralelkenarın yarısının alınmasından doğar.
Kolay
4Bir okul bahçesinde yamuk biçimli bir oyun alanı kauçuk zeminle kaplanacak. Alanın paralel kenarları 7 m ve 13 m, bu kenarlar arasındaki uzaklık 6 m'dir. Kaplanacak alan kaç m²'dir?
- A) 30
- B) 78
- C) 60
- D) 120
- E) 40
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 60
Yamuğun alanı tabanların ortalaması ile yüksekliğin çarpımıdır: (7 + 13) / 2 · 6 = 60 m². 120 sonucu, tabanlar toplamının ikiye bölünmeden yükseklikle çarpılmasından doğar.
Kolay
5Bir uçurtma deltoid biçimindedir. Ana köşegen uçurtmanın simetri eksenidir; kısa köşegeni oluşturan çıta 10 cm'dir. Ana köşegen, kısa köşegeni kestiği noktada kısa köşegenin iki parçası kaçar santimetredir?
- A) 5 ve 5
- B) 4 ve 6
- C) 3 ve 7
- D) 10 ve 10
- E) 2 ve 8
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 5 ve 5
Deltoidin ana köşegeni simetri eksenidir ve diğer köşegeni dik keserek ortalar; parçalar 5'er cm'dir. Ana köşegenin kendisi ise genelde ortalanmaz.
Kolay
6Bir öğrenci köşegenleri 8 cm ve 6 cm, köşegenleri arasındaki açı 30° olan bir dörtgenin alanını 8 · 6 / 2 = 24 cm² buluyor. Öğrencinin çözümüyle ilgili hangisi doğrudur? (sin 30° = 1/2)
- A) Çözüm doğrudur; alan her zaman e · f / 2 ile bulunur.
- B) Köşegenler çarpılmamalı, toplanmalıdır; alan 7 cm²'dir.
- C) Köşegenler dik olmadığı için sin 30° çarpanı unutulmuştur; alan 12 cm²'dir.
- D) Alan e · f · sin α ile bulunur; alan 48 cm²'dir.
- E) Sin 30° çarpanı unutulmuştur; alan 24 · 2 = 48 cm²'dir.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Köşegenler dik olmadığı için sin 30° çarpanı unutulmuştur; alan 12 cm²'dir.
e · f / 2 formülü yalnızca köşegenler dik olduğunda geçerlidir; genel formül (1/2) · e · f · sin α'dır. (1/2) · 8 · 6 · (1/2) = 12 cm² bulunur.
Kolay
7Alanı 50 cm² olan dışbükey bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları sırayla birleştirilerek içte bir paralelkenar oluşturuluyor. Bu paralelkenarın alanı kaç santimetrekaredir?
- A) 12,5
- B) 25
- C) 50
- D) 100
- E) 20
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 25
Kenar orta noktalarının oluşturduğu paralelkenarın alanı ana dörtgenin alanının yarısıdır: 50 : 2 = 25 cm². 12,5 sonucu alanı dörtte bir sanmaktan gelir.
Kolay
8Kare biçimli bir mendilin köşegen uzunluğu 8 cm'dir. Mendilin alanı kaç santimetrekaredir?
- A) 64
- B) 16
- C) 8√2
- D) 128
- E) 32
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 32
Karenin köşegenleri eşit ve dik olduğundan alan 8 · 8 / 2 = 32 cm² olur. 64 sonucu köşegeni kenar sanmaktan gelir.
Kolay
9Dışbükey ABCD dörtgeni biçimli bir tarla köşegenler boyunca dört parsele ayrılıyor; köşegenler O noktasında kesişiyor. Alan(BOC) = 4 dönüm, Alan(COD) = 8 dönüm ve Alan(DOA) = 6 dönümdür. Alan(AOB) kaç dönümdür?
- A) 12
- B) 3
- C) 6
- D) 2
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 3
Karşılıklı üçgenlerin alanları çarpımı eşittir: Alan(AOB) · Alan(COD) = Alan(BOC) · Alan(DOA) ⇒ Alan(AOB) · 8 = 4 · 6 ⇒ 3 dönüm. 12 sonucu karşılıklı üçgenleri yanlış eşleştirmekten gelir.
Kolay
10Bir okul bahçesinde yamuk biçimli bir çiçeklik yapılacak. Çiçekliğin paralel kenarları 5 m ve 11 m, bu kenarlar arasındaki uzaklık 4 m'dir. Çiçekliğin alanı kaç metrekaredir?
- A) 64
- B) 32
- C) 44
- D) 20
- E) 16
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 32
Yamuğun alanı (a + c)/2 · h = (5 + 11)/2 · 4 = 32 m²'dir. 64 sonucu tabanlar toplamını ikiye bölmeden yükseklikle çarpmaktan gelir.
Kolay
11Bir mağaza tabelası dışbükey dörtgen biçimindedir. Tabelanın köşegenleri 12 dm ve 10 dm'dir ve köşegenler birbirini dik kesiyor. Tabelanın ön yüzü boyanacağına göre boyanacak alan kaç desimetrekaredir?
- A) 120
- B) 30
- C) 22
- D) 44
- E) 60
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 60
Köşegenler dik kesiştiğinde alan e · f / 2 = 12 · 10 / 2 = 60 dm²'dir. 120 sonucu ikiye bölmeyi unutmaktan gelir.
Kolay
12Yamuk biçimli bir pencerenin orta tabanı 9 dm ve yüksekliği 6 dm'dir. Pencerenin camının alanı kaç desimetrekaredir?
- A) 27
- B) 108
- C) 15
- D) 30
- E) 54
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 54
Orta taban (a + c)/2'ye eşit olduğundan alan orta taban ile yüksekliğin çarpımıdır: 9 · 6 = 54 dm². 27 sonucu bu çarpımı yeniden ikiye bölmekten gelir.
Kolay
13ABCD paralelkenarı biçimli bir bahçe, köşegenler boyunca yapılan iki yolla dört parçaya ayrılıyor. Yolların oluşturduğu parçalardan birinin alanı 9 m²'dir. Bahçenin tamamının alanı kaç metrekaredir?
- A) 18
- B) 27
- C) 36
- D) 45
- E) 81
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 36
Paralelkenarın köşegenleri alanı dört eşit parçaya böler, her parça alanın 1/4'üdür: 4 · 9 = 36 m². 18 sonucu parçayı alanın yarısı sanmaktan gelir.
Kolay
14Kare biçimli bir oyun halısının alanı 50 m²'dir. Halının bir köşesinden karşı köşesine bir şerit çekilecek. Şerit kaç metredir?
- A) 10
- B) 5√2
- C) 25
- D) √50
- E) 100
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 10
Karenin alanı köşegen cinsinden d² / 2'dir: d² / 2 = 50 ⇒ d = 10 m. √50 = 5√2 m ise karenin kenarıdır.
Kolay
15Dışbükey dörtgen biçimli bir halının köşegenleri 6 m ve 10 m'dir; köşegenler arasındaki açı 30°'dir. Halının alanı kaç metrekaredir? (sin 30° = 1/2)
- A) 15
- B) 30
- C) 60
- D) 7,5
- E) 16
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 15
Alan (1/2) · e · f · sin α = (1/2) · 6 · 10 · (1/2) = 15 m²'dir. 30 sonucu sin α çarpanını unutmaktan gelir.
Kolay
16Bir deltoid, tabanları ortak iki ikizkenar üçgenden oluşur. Deltoidin ana köşegeniyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Simetri eksenidir ve diğer köşegeni dik keserek ortalar.
- B) Diğer köşegenle eşit uzunluktadır.
- C) Diğer köşegen tarafından ortalanır ama ona dik değildir.
- D) Deltoidi alanları farklı iki üçgene ayırır.
- E) Deltoidin karşılıklı kenarlarına paraleldir.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Simetri eksenidir ve diğer köşegeni dik keserek ortalar.
Deltoidde köşegenler diktir; ana köşegen simetri eksenidir ve diğer köşegeni ortalar. Simetri ekseni olduğu için deltoidi iki eş üçgene ayırır.
Kolay
17Selin'in uçurtması dışbükey ABCD deltoidi biçimindedir; |AB| = |AD| ve |CB| = |CD|'dir. m(A) = 70° ve m(C) = 130° olduğuna göre m(B) kaç derecedir?
- A) 50
- B) 65
- C) 70
- D) 80
- E) 100
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 80
AC ana köşegeni deltoidin simetri eksenidir; bu yüzden B ve D köşelerindeki açılar eşittir. İç açılar toplamından 2 · m(B) = 360° − 70° − 130° = 160° olur ve m(B) = 80° bulunur.
Kolay
18ABCD paralelkenarı biçimli bir panonun DC kenarı üzerinde bir E noktası işaretleniyor. A, B ve E noktalarını köşe kabul eden üçgen bölge maviye boyanıyor ve bu bölgenin alanı 35 dm² oluyor. Panonun alanı kaç dm²'dir?
- A) 17,5
- B) 35
- C) 70
- D) 105
- E) 140
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 70
ABE üçgeninin tabanı AB, yüksekliği E'nin AB'ye uzaklığıdır. E, AB'ye paralel olan DC üzerinde olduğundan bu yükseklik paralelkenarın yüksekliğine eşittir. Üçgenin alanı |AB| · h / 2, paralelkenarın alanı |AB| · h olduğu için panonun alanı 2 · 35 = 70 dm²'dir.
Orta
19Bir köprü ayağının yan yüzü ABCD yamuğu biçimindedir; AB ∥ DC'dir. Mühendis yüzeyi köşegen kirişlerle dört parçaya ayırıyor; kirişler O noktasında kesişiyor ve Alan(AOD) = 10 m² hesaplanıyor. Alan(BOC) kaç m²'dir?
- A) 5
- B) 20
- C) 15
- D) 25
- E) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 10
ABD ve ABC üçgenleri aynı AB tabanına ve paralel doğrular arasındaki aynı yüksekliğe sahip olduğundan alanları eşittir; ikisinden ortak AOB üçgeni çıkarılınca Alan(AOD) = Alan(BOC) = 10 m² kalır. 20 sonucu, iki yan üçgenin alanlarının toplandığını sanmaktan doğar.
Orta
20Nil, dışbükey bir dörtgenin köşegenlerini 12 cm ve 18 cm olarak ölçüyor. Ardından dörtgenin kenarlarının orta noktalarını sırayla birleştirip içte bir paralelkenar elde ediyor ve onu renkli bir bantla çevreliyor. Kullanılan bandın uzunluğu kaç cm'dir?
- A) 30
- B) 15
- C) 36
- D) 60
- E) 54
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 30
Orta noktaları birleştiren her kenar, karşısındaki köşegenin yarısına eşit ve ona paraleldir; paralelkenarın kenarları 6 ve 9 cm olur. Çevre 2 · (6 + 9) = 30 cm'dir, yani köşegenler toplamına eşittir. 60 sonucu, iç paralelkenarın kenarlarının köşegenlerin kendisine eşit sanılmasından doğar.
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.