11. Sınıf Matematik · Geometrik Şekiller
Dörtgenlerin Özellikleri
- dörtgen
- dışbükey dörtgen
- içbükey dörtgen
- iç açılar toplamı
- açıortay
- yamuk
- paralelkenar
Dörtgenlerde iç açılar toplamı ve açı özellikleri nelerdir?
Dörtgenlerde iç açılar toplamı 360°'dir, çünkü bir köşegen dörtgeni iki üçgene böler ve 2 · 180° = 360° elde edilir. Dışbükey dörtgende her iç açı 180°'den küçüktür ve iki köşegen de içeride kalır; içbükey dörtgende bir iç açı 180°'den büyüktür ve köşegenlerden biri dışarıda kalır. Dış açılar toplamı da 360°'dir. Örneğin üç iç açısı 70°, 95° ve 110° olan bir dörtgenin dördüncü açısı 360° − 275° = 85°'dir. Yamukta paralel kenarlar arasında kalan ve aynı yan kenara ait iki açı bütünlerdir. Paralelkenarda karşılıklı açılar eşit, komşu açılar bütünler olduğundan ardışık iki köşenin iç açıortayları 90° ile kesişir. Komşu iki köşenin iç açıortayları arasındaki açı, diğer iki açının toplamının yarısına eşittir. İçbükey dörtgende de toplam 360°'dir; hesaba dışarıdan görünen küçük açı değil, 180°'den büyük iç açı katılır.
Dörtgenlerin Özellikleri: konu anlatımı ve özeti
Bu konu dörtgenleri dışbükey ve içbükey olarak ayırmayı ve dörtgenlerin açı özelliklerini anlatıyor. Bu kurallar alan, çevre ve açı sorularının temelini oluşturur.
- Dışbükey dörtgende her iç açı 180°'den küçüktür ve iki köşegen de dörtgenin içinde kalır. İçbükey dörtgende bir iç açı 180°'den büyüktür ve köşegenlerden biri dışarıda kalır. Bundan sonraki özellikler dışbükey dörtgenler içindir.
- Bir köşegen dörtgeni iki üçgene böler, bu yüzden iç açılar toplamı 2 · 180° = 360°'dir. Dış açılar toplamı da 360°'dir.
- Örnek: Üç iç açısı 70°, 95° ve 110° olan dörtgenin dördüncü açısı 360° − 275° = 85°'dir.
- Yamukta, paralel kenarlar arasında kalan ve aynı yan kenara ait iki açı bütünlerdir; toplamları 180°'dir.
- Paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir, komşu açılar bütünlerdir. Bu yüzden ardışık iki köşenin iç açıortayları dik (90°) kesişir.
- Komşu iki köşenin (A ve B) iç açıortayları arasındaki açı, diğer iki açının toplamının yarısıdır: (C + D)/2. Örnek: A = 80° ve B = 100° ise C + D = 180° olur, açıortaylar arasındaki açı 90°'dir. Kontrol: 180° − (80° + 100°)/2 = 90°.
Unutma: İçbükey dörtgende de iç açılar toplamı 360°'dir. Hesaba 180°'den büyük olan iç açıyı katmalısın, dışarıdan görünen küçük açıyı değil.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Önce temeli pekiştir
Bir dörtgende bilinmeyen açıyı bulmak için şu sırayı izle.
- Dörtgen dışbükey mi? Bütün iç açılar 180°'den küçükse evet.
- İç açılar toplamının 360° olduğunu kullan: dörtgeni bir köşegenle iki üçgene ayırırsan 180° + 180° elde edersin.
- Şekil yamuk ya da paralelkenarsa ek kurallara bak: aynı yan kenara ait iki açı bütünlerdir (toplamları 180°).
Günlük hayattan: Bir uçurtma çerçevesinin üç açısı 100°, 100° ve 70° ise dördüncü açı 360° − 270° = 90° olur.
Sık yapılan hata: Yamukta karşılıklı açıların bütünler olduğunu sanmak. Doğrusu: Bütünler olan açılar, paralel kenarlar arasında kalan ve aynı yan kenarı paylaşan açılardır. Karşılıklı açıların toplamı ancak özel durumlarda 180° olur.
Derinleş
Araba krikosu, makaslı çalışma platformu ve bazı lamba kolları paralelkenar biçimli bir mekanizmayla çalışır. Bu mekanizmalardan birini araştır ya da kartondan ve raptiyeden bir model yap. Kollar açılıp kapanırken hangi açılar değişiyor, hangi kenarlar paralel kalıyor? Fizik dersindeki denge bilgilerini de kullanarak bu özelliğin taşınan yükün devrilmemesi için neden önemli olduğunu açıkla.
Öğrenme çıktıları
Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.
MAT.11.2.1Üçgenlerde açı, benzerlik ve alan özelliklerinden yola çıkarak dörtgenlerin açı,
- a) Dörtgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerine ilişkin varsayımlarda bulunur.
- b) Varsayımlarını kullanarak dörtgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerine ilişkin örüntüleri geneller.
- ç) Elde ettiği genellemeleri kullanarak dörtgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerine ilişkin önermeler sunar.
- d) Dörtgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerine ilişkin sunduğu önermeleri yeni durumlara uyarlayarak değerlendirir.
- e) Elde ettiği önermeleri üçgenlerde açı, benzerlik ve alan özelliklerini kullanarak ispatlar.
Bu konuda neler var?
- Dörtgenlerde İçbükeylik ve Dışbükeylik
- Dörtgenlerde Açı Özellikleri
- Dörtgenlerde Açıortay Yardımıyla Elde Edilen Açı Özellikleri
Sorular
Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.
Kolay
1Bir çocuk parkındaki kum havuzu, ok ucu biçiminde dört kenarlı bir sınırla çevrilmiş; köşelerinden biri havuzun içine doğru girinti yapıyor. Bakım ekibi havuzun sınırını yenilemeden önce açılarını inceliyor. Bu kum havuzunun sınırı için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- A) Bütün iç açıları 90°'dir.
- B) Bir iç açısı 180°'den büyüktür.
- C) İki köşegeni de dörtgenin içindedir.
- D) İç açıları toplamı 360°'den azdır.
- E) İç açıları toplamı 360°'den fazladır.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Bir iç açısı 180°'den büyüktür.
İçe girinti yapan köşedeki iç açı 180°'den büyüktür; bu, dörtgeni içbükey yapan özelliktir. İç açılar toplamı ise içbükey dörtgende de 360°'dir; girinti yapan büyük açı ötekilerin küçülmesiyle dengelenir, toplam artmaz.
Kolay
2Bir tarla ABCD yamuğu biçimindedir; AB ve DC kenarları birbirine paralel iki köy yoluna dayanıyor. Tapu planında A köşesindeki iç açı 58° olarak gösterilmiş; A ile D aynı yan kenar üzerindeki köşelerdir. Tarlanın D köşesindeki iç açı kaç derecedir?
- A) 122
- B) 58
- C) 32
- D) 142
- E) 116
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 122
AB ∥ DC olduğundan AD yan kenarı bu iki paralel doğruyu keser ve A ile D'deki iç açılar karşı durumlu iç açılar olarak bütünlerdir: 180° − 58° = 122°. 58 sonucu, bu açıların eşit olduğunu sanmaktan doğar; eşitlik paralelkenarın karşılıklı açıları için geçerlidir.
Kolay
3Bir marangoz, dört kenarlı ve köşelerinden hiçbiri içe girinti yapmayan bir masa tablası kesiyor. Tablanın dört köşesindeki açıları açıölçerle ölçüp topladığında ölçüm hatası dışında hep aynı sonucu bulduğunu fark ediyor. Marangozun bulduğu iç açılar toplamı kaç derecedir?
- A) 180
- B) 270
- C) 360
- D) 540
- E) 720
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 360
Dışbükey bir dörtgen bir köşegenle iki üçgene ayrılır; her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan dörtgeninki 2 · 180° = 360°'dir. 540 sonucu beşgenin iç açıları toplamıdır; kenar sayısı bir fazla sayılmıştır.
Kolay
4Bir otoparkta araç park yerleri, sürücülerin kolay girebilmesi için paralelkenar biçiminde çizilmiş. Park yerini sınırlayan çizgilerden biri, kaldırım bordürüyle park yerinin içinde 64°'lik bir açı yapıyor. Park yerinin bu açıya komşu olan iç açısı kaç derecedir?
- A) 64
- B) 116
- C) 126
- D) 296
- E) 26
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 116
Paralelkenarda komşu iç açılar aynı kenar üzerinde iki paralel doğrunun oluşturduğu iç açılar olduğundan bütünlerdir: 180° − 64° = 116°. 26 sonucu, komşu açıların toplamının 180° değil 90° sanılmasından doğar.
Kolay
5Bir bisiklet parkurunun sınırı dışbükey bir dörtgendir. Parkuru dolaşan bir bisikletli her köşede yönünü dış açı kadar değiştiriyor. İlk üç köşedeki dış açılar 70°, 95° ve 100° olduğuna göre dördüncü köşedeki dış açı kaç derecedir?
- A) 85
- B) 95
- C) 105
- D) 180
- E) 75
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 95
Dışbükey dörtgende dış açılar toplamı da 360°'dir: 360° − (70° + 95° + 100°) = 95°. 85 sonucu, bulunan değeri iç açı sanıp 180°'den çıkarmaktan gelir.
Kolay
6Bir kaykay rampasının yan yüzü ABCD yamuğu biçimindedir; AB ve DC kenarları paraleldir. B ve C köşeleri aynı yan kenar üzerindedir ve m(B) = 112°'dir. m(C) kaç derecedir?
- A) 112
- B) 78
- C) 68
- D) 58
- E) 248
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 68
Yamukta paralel kenarlar arasında kalan ve aynı yan kenara ait iki açı bütünlerdir: m(C) = 180° − 112° = 68°. 112 cevabı, bu açıları eşit sanmaktan kaynaklanır.
Kolay
7Bir duvar kâğıdı deseni paralelkenarlardan oluşuyor. Paralelkenarlardan birinde karşılıklı iki iç açının ölçüleri toplamı 140°'dir. Bu paralelkenarın geniş açısı kaç derecedir?
- A) 70
- B) 140
- C) 220
- D) 110
- E) 100
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 110
Karşılıklı açılar eşit olduğundan her biri 140° : 2 = 70°'dir; komşu açı 180° − 70° = 110° olur. 70° paralelkenarın dar açısıdır.
Kolay
8Bir sanat atölyesinde kesilen dışbükey dörtgen biçimli bir camın iç açıları x + 10°, 2x, 3x − 20° ve 2x + 10°'dir. Camın en küçük iç açısı kaç derecedir?
- A) 45
- B) 60
- C) 55
- D) 90
- E) 35
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 55
Açılar toplamı 8x = 360° olduğundan x = 45° olur; açılar 55°, 90°, 115° ve 100°'dir. 45 cevabı, x'in kendisini açı sanmaktan gelir.
Kolay
9Bir masa örtüsü dışbükey dörtgen biçimindedir. Örtünün üç köşesindeki iç açıların her biri 100°'dir. Dördüncü köşedeki iç açı kaç derecedir?
- A) 100
- B) 60
- C) 80
- D) 40
- E) 90
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 60
360° − 3 · 100° = 60° bulunur. Dört açının eşit olması gerekmez; 80 sonucu 180° − 100° işlemi yapılarak bulunur.
Kolay
10Bir kırtasiye, vitrinine dışbükey dörtgen biçiminde bir karton pano asıyor. Panonun üç köşesindeki iç açılar 80°, 115° ve 92° olarak ölçülüyor. Dördüncü köşedeki iç açı kaç derecedir?
- A) 83
- B) 63
- C) 73
- D) 107
- E) 93
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 73
Dörtgenin iç açıları toplamı 360°'dir: 360° − (80° + 115° + 92°) = 360° − 287° = 73°. 83 sonucu toplamada yapılan 10°'lik hatadan gelir.
Kolay
11Dışbükey bir dörtgen biçimindeki bahçenin bir köşesindeki dış açı 65°'dir. Bu köşedeki iç açı kaç derecedir?
- A) 115
- B) 65
- C) 25
- D) 295
- E) 125
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 115
Bir köşedeki iç açı ile dış açı bütünlerdir: 180° − 65° = 115°. 25 sonucu, iki açıyı tümler (toplamı 90°) sanmaktan kaynaklanır.
Kolay
12Elif, kâğıda çizdiği dört kenarlı şekillerin dışbükey olup olmadığını belirlemek için bir ölçüt arıyor. Aşağıdakilerden hangisi bir dörtgenin dışbükey olduğunu gösteren doğru ölçüttür?
- A) Bir iç açısı 180°'den büyüktür ve bir köşegeni dışarıda kalır.
- B) Dört kenarının uzunlukları birbirine eşittir.
- C) Karşılıklı kenarlarından en az bir çifti paraleldir.
- D) İç açılarının toplamı 360°'den küçüktür.
- E) Her iç açısı 180°'den küçüktür ve iki köşegeni de dörtgenin içinde kalır.
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Her iç açısı 180°'den küçüktür ve iki köşegeni de dörtgenin içinde kalır.
Dışbükey dörtgende bütün iç açılar 180°'den küçüktür ve köşegenlerin ikisi de içte kalır. Bir açısı 180°'den büyük olan dörtgen içbükeydir; iç açılar toplamı ise her iki durumda da 360°'dir.
Kolay
13Bir öğrenci, bir köşesi içe doğru girinti yapan dört kenarlı bir şekil çiziyor. Bu şekil içbükey bir dörtgendir. İçbükey dörtgenle ilgili hangisi doğrudur?
- A) Bir iç açısı 180°'den büyüktür ve köşegenlerinden biri dışarıda kalır.
- B) Bütün iç açıları 180°'den küçüktür ve köşegenleri içtedir.
- C) İç açılarının toplamı 360°'den küçüktür.
- D) İç açılarının toplamı 540°'dir.
- E) Köşegenlerinin ikisi de dörtgenin dışında kalır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Bir iç açısı 180°'den büyüktür ve köşegenlerinden biri dışarıda kalır.
İçbükey dörtgende bir iç açı 180°'den büyüktür ve bir köşegen dışarıda kalır. İç açılar toplamı yine 360°'dir; 540° beşgenin iç açılar toplamıdır.
Kolay
14Bir asansörün katlanır kapısındaki metal çubuklar paralelkenar biçiminde birleşiyor. Paralelkenarlardan birinin bir iç açısı 75°'dir. Bu açının komşusu olan iç açı kaç derecedir?
- A) 105
- B) 75
- C) 115
- D) 95
- E) 285
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 105
Paralelkenarda komşu açılar bütünlerdir: 180° − 75° = 105°. 75° ise karşı köşedeki açının ölçüsüdür.
Kolay
15ABCD bir paralelkenardır. A ve B komşu köşelerindeki iç açıların açıortayları paralelkenarın içinde P noktasında kesişiyor. m(APB) kaç derecedir?
- A) 45
- B) 60
- C) 180
- D) 90
- E) 120
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 90
Komşu açılar bütünler olduğundan m(A)/2 + m(B)/2 = 90°'dir; APB üçgeninde m(APB) = 180° − 90° = 90° olur. Bu nedenle ardışık iki köşenin açıortayları her paralelkenarda dik kesişir.
Kolay
16Mert, her dışbükey dörtgende iç açılar toplamının 360° olduğunu göstermek istiyor. Aşağıdaki gerekçelerden hangisi bu sonucu doğru biçimde temellendirir?
- A) Dörtgenin dört köşesi olduğu için toplam 4 · 90° = 360° olmak zorundadır.
- B) Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır; iki üçgenin iç açıları toplamı 2 · 180° = 360°'dir.
- C) Her dörtgen bir kareye dönüştürülebildiği için açılar toplamı 360°'dir.
- D) Dörtgenin iki köşegeni olduğu için toplam 2 · 180° = 360°'dir.
- E) Birkaç dörtgende açıölçerle ölçülen toplam 360° bulunduğu için kesindir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır; iki üçgenin iç açıları toplamı 2 · 180° = 360°'dir.
Köşegen, dörtgenin açılarını iki üçgenin açıları arasında paylaştırır; iki üçgenin açıları toplamı 360°'dir. Birkaç ölçüm bir varsayım oluşturur ama ispat yerine geçmez; her açının 90° olması da gerekmez.
Kolay
17Bir sandık kapağı ABCD yamuğu biçimindedir; AB ∥ DC'dir. Kapağa A ile C köşeleri arasında bir çıta çakılıyor. m(BAC) = 40° ve m(D) = 95° olduğuna göre m(DAC) kaç derecedir?
- A) 25
- B) 35
- C) 40
- D) 45
- E) 55
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 45
AB ∥ DC ve AC kesen olduğundan iç ters açılar eşittir: m(DCA) = m(BAC) = 40°. ADC üçgeninde m(DAC) = 180° − 95° − 40° = 45° bulunur. Kesenle oluşan eşitlik gözden kaçırılıp m(DAC) = 40° alınırsa yanlış sonuca gidilir.
Kolay
18Bir öğrenci kartondan içbükey bir dörtgen kesiyor ve iç açılarını ölçüyor. Arkadaşı, böyle bir dörtgende 180°'den büyük iki iç açı bulunabileceğini söylüyor. İç açılar toplamının 360° olduğu bilindiğine göre içbükey bir dörtgende 180°'den büyük en çok kaç iç açı bulunabilir?
- A) 0
- B) 1
- C) 2
- D) 3
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 1
İçbükey dörtgende 180°'den büyük en az bir iç açı vardır. İki iç açı 180°'den büyük olsaydı yalnız bu ikisinin toplamı 360°'yi aşardı; oysa dört iç açının toplamı 360°'dir ve öteki iki açı da pozitiftir. Bu yüzden en çok 1 iç açı 180°'den büyük olabilir.
Orta
19Defne, iki çıtayı ve ipi kullanarak bir ucu içe doğru girinti yapan, ok ucu biçimli bir uçurtma yapıyor. Uçurtmanın sınırı içbükey ABCD dörtgenidir; m(A) = 35°, m(B) = 40° ve m(C) = 45° olup D köşesindeki iç açı 180°'den büyüktür. D köşesindeki iç açı kaç derecedir?
- A) 120
- B) 240
- C) 60
- D) 300
- E) 180
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 240
İçbükey dörtgende de iç açılar toplamı 360°'dir: m(D) = 360° − (35° + 40° + 45°) = 240°. 120 sonucu, D'deki açının dörtgenin dışında kalan kısmını iç açı sanmaktan doğar; iç açı 180°'den büyük olmalıdır.
Orta
20Bir peyzaj mimarı, dışbükey dörtgen biçimli bir çiçek tarhı tasarlıyor. Tarhın iç açılarının ölçülerini sırasıyla 2, 3, 4 ve 6 sayılarıyla orantılı olacak biçimde seçiyor. Tarhın en büyük iç açısı kaç derecedir?
- A) 120
- B) 136
- C) 160
- D) 144
- E) 96
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 144
Açılar 2k, 3k, 4k ve 6k olsun: 15k = 360° ise k = 24° ve en büyük açı 6 · 24° = 144° bulunur. 96 sonucu, 4 ile orantılı açının en büyük sanılmasından doğar; en büyük oran 6'dır.
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.