Anlık Değişim Oranı ve Türev

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

• MAT.12.4.5Bir fonksiyonun belirli bir nokta civarındaki değişim oranına ilişkin muhakeme

  • c) Bir fonksiyonun belirli bir nokta civarındaki değişim oranını tablo, grafik ve limit gösteriminden yararlanarak fonksiyonun o noktadaki anlık değişimi olarak ifade eder.
  • ç) Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişimini fonksiyonun o noktadaki türevi olarak ifade eder.
  • ğ) Önermelerini anlık değişim oranını yorumlamayı gerektiren problem durumlarında değerlendirir.
  • h) Fonksiyonun bir noktadaki türevini limit gösteriminden faydalanarak ispatlar.

• MAT.12.4.6Fonksiyonların türevinin olmadığı noktalar hakkında çıkarım yapabilme

  • c) Bir fonksiyonun herhangi bir noktasında hangi durumlarda türevinin olmadığına ilişkin genellemeleri ile varsayımlarını karşılaştırır.

• MAT.12.4.7Türevin limit gösteriminden faydalanarak iki fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı,

  • a) Fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı, bölümü ve bileşkesinin türevine ilişkin varsayımlar geliştirir.

Bu konuda neler var?

• Türev Kavramı
• Bir Fonksiyonun Bir Noktada ve Bir Aralıkta Türevlenebilirliği
• Türevlenebilen İki Fonksiyonun Toplamının, Farkının, Çarpımının ve Bölümünün Türevi
• İki Fonksiyonun Bileşkesinin Türevi

1. Kolay

   1Bir bisiklet yol bilgisayarı, dağ yolunun yükseklik profilini y = f(x) grafiğiyle gösteriyor; x yatay uzaklık, y yüksekliktir. Bisikletçi x = a noktasına geldiğinde cihaz ekrana f'(a) değerini yazıyor. Ekrandaki f'(a) değeri bu grafikte geometrik olarak neyi ifade eder?

   • AA) Grafiğin x = a'daki yükseklik değerini
   • BB) Grafiğin y eksenini kestiği noktayı
   • CC) x = a'da grafiğe çizilen teğetin eğimini
   • DD) [0, a] aralığındaki ortalama değişim oranını
   • EE) Grafiğin x eksenini kestiği noktayı
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) x = a'da grafiğe çizilen teğetin eğimini

   f'(a), grafiğe x = a apsisli noktada çizilen teğet doğrusunun eğimidir; yolun o noktadaki dikliğini gösterir. [0, a] aralığındaki ortalama değişim oranı ise bir kesenin eğimidir; anlık değişim ile ortalama değişimi karıştıran bu seçeneğe düşer.

   Hata mı var? Düzeltme öner

2. Kolay

   2Bir alışveriş merkezindeki asansör, bakım nedeniyle on dakika boyunca hiç hareket etmeden 7. katta bekletiliyor. Bu süre içinde asansörün bulunduğu kat, t dakika olmak üzere f(t) = 7 fonksiyonuyla gösteriliyor. f'(3) kaçtır?

   • AA) 7
   • BB) 3
   • CC) 21
   • DD) 1
   • EE) 0
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) 0

   Sabit fonksiyonun türevi her noktada 0'dır; asansör hareket etmediği için konumunun değişim hızı da 0'dır. 7 seçeneği, fonksiyonun değeri ile türevinin değerinin karıştırılmasından doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

3. Kolay

   3Bir fabrikada üretilen küp biçimli beton blokların ağırlığı, kenar uzunluğu x dm iken f(x) = 5x³ kg ile hesaplanıyor. Kalite mühendisi, kenar uzunluğundaki küçük bir değişimin ağırlığı ne hızla değiştirdiğini gösteren fonksiyonu tabloya eklemek istiyor. Mühendisin ekleyeceği f'(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) 5x²
   • BB) 15x³
   • CC) 15x²
   • DD) 3x²
   • EE) 5x⁴/4
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) 15x²

   (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹ ve (c · f)' = c · f' kurallarıyla f'(x) = 5 · 3x² = 15x² olur. 15x³ seçeneği, katsayı doğru çarpıldığı hâlde üssün bir azaltılmamasından doğar; 5x⁴/4 ise türev yerine ters türev almaya benzer bir işlemdir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

4. Kolay

   4Düz bir pistte ilerleyen oyuncak arabanın başlangıç çizgisine uzaklığı, t. saniyede s(t) = t² metre olarak ölçülüyor. Öğrenciler arabanın 1. saniye ile 4. saniye arasındaki ortalama hızını, yani s fonksiyonunun [1, 4] aralığındaki ortalama değişim oranını hesaplıyor. Bu ortalama değişim oranı kaçtır?

   • AA) 15
   • BB) 3
   • CC) 8
   • DD) 5
   • EE) 2
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) 5

   Ortalama değişim oranı (s(4) − s(1))/(4 − 1) = (16 − 1)/3 = 5 m/sn'dir. 15 seçeneği, konumdaki değişimin geçen süreye bölünmemesinden; 8 ise t = 4 anındaki anlık hızın (s'(4) = 8) ortalama hız sanılmasından doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

5. Kolay

   5Bir sıcak hava balonunun yerden yüksekliği, kalkıştan t dakika sonra h(t) = 3t² + t metre olarak modelleniyor. Pilot, balonun 1. dakika ile 3. dakika arasındaki ortalama yükselme hızını hesaplamak istiyor. Buna göre bu ortalama hız dakikada kaç metredir?

   • AA) 26
   • BB) 15
   • CC) 10
   • DD) 13
   • EE) 12
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) 13

   Ortalama değişim oranı (h(3) − h(1))/(3 − 1) = (30 − 4)/2 = 13 m/dk olur. 26, değişimin zaman farkına bölünmeden bırakılmasıyla bulunur.

   Hata mı var? Düzeltme öner

6. Kolay

   6Bir fırının günlük gelirini tahmin eden model f(x) = 5x² − 3x + 7 biçimindedir. Bu fonksiyonun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) 10x + 4
   • BB) 5x − 3
   • CC) 10x² − 3x
   • DD) 2x − 3
   • EE) 10x − 3
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) 10x − 3

   Terim terim türev alınır: (5x²)' = 10x, (−3x)' = −3 ve sabit 7'nin türevi 0'dır. 10x + 4 yanıtında sabit terimin türevi yanlışlıkla korunmuştur.

   Hata mı var? Düzeltme öner

7. Kolay

   7Bir bitkinin boyu, ekimden t gün sonra h(t) santimetredir. Bir öğrenci deney raporuna h'(5) = 2 sonucunu yazmıştır. Bu sonucun anlamı aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) 5. gün civarında boy günde yaklaşık 2 cm artmaktadır.
   • BB) 5. günde bitkinin boyu tam 2 cm'dir.
   • CC) İlk 5 günde boy toplam 2 cm artmıştır.
   • DD) Bitkinin boyu her 2 günde 5 cm artar.
   • EE) 5. günden sonra bitki büyümeyi durdurur.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) 5. gün civarında boy günde yaklaşık 2 cm artmaktadır.

   h'(5), boyun 5. gündeki anlık değişim hızıdır; yani o sırada boy günde yaklaşık 2 cm artmaktadır. “Boyu 2 cm'dir” seçeneği fonksiyon değeri ile türevi karıştırır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

8. Kolay

   8Bir lazer ışığının izlediği yol koordinat düzleminde f(x) = |x − 2| grafiğiyle gösteriliyor; yol bir noktada sivri biçimde yön değiştiriyor. f fonksiyonunun türevinin olmadığı nokta aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) x = 0
   • BB) x = −2
   • CC) x = 2
   • DD) x = 1
   • EE) x = 4
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) x = 2

   x = 2'de soldan türev −1, sağdan türev 1'dir; türevler eşit olmadığından bu kırılma noktasında türev yoktur. x = −2, mutlak değerin içindeki işaretin ters okunmasıyla seçilir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

9. Kolay

   9f(x) = (2x + 3)³ fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) 6(2x + 3)²
   • BB) 3(2x + 3)²
   • CC) 6(2x + 3)³
   • DD) (2x + 3)²
   • EE) 3(2x + 3)² + 2
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) 6(2x + 3)²

   Zincir kuralıyla 3(2x + 3)² ifadesi içteki fonksiyonun türevi olan 2 ile çarpılır ve 6(2x + 3)² bulunur. 3(2x + 3)² yanıtında içteki türevle çarpma unutulmuştur.

   Hata mı var? Düzeltme öner

10. Kolay

    10f(x) = 7 · g(x) ve g'(2) = 3 olduğuna göre f'(2) kaçtır?

    • AA) 10
    • BB) 3
    • CC) 7
    • DD) 4
    • EE) 21
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 21

    Sabitle çarpımın türevi (c · g)' = c · g' olduğundan f'(2) = 7 · 3 = 21 bulunur. 10, sabit ile türevin toplanmasıyla elde edilen yanlış sonuçtur.

    Hata mı var? Düzeltme öner

11. Kolay

    11Düz bir koşu yolunda ilerleyen bir koşucunun başlangıç noktasına uzaklığı, t. saniyede x(t) = t² + 2t metredir. Koşucunun t = 3 anındaki anlık hızı kaç m/sn'dir?

    • AA) 5
    • BB) 15
    • CC) 8
    • DD) 6
    • EE) 11
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 8

    Anlık hız konumun türevidir: x'(t) = 2t + 2, x'(3) = 8 m/sn. 5 m/sn ise ilk 3 saniyedeki ortalama hızdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

12. Kolay

    12f(x) = x⁴ fonksiyonunun türev fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) f'(x) = x³
    • BB) f'(x) = 4x⁴
    • CC) f'(x) = 4x³
    • DD) f'(x) = 3x³
    • EE) f'(x) = x⁵/5
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) f'(x) = 4x³

    (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹ kuralıyla (x⁴)' = 4x³ bulunur. x⁵/5, türev yerine ters türev alınınca çıkan ifadedir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

13. Kolay

    13h(x) = f(x) · g(x) olmak üzere f(1) = 2, f'(1) = 3, g(1) = 4 ve g'(1) = 1'dir. Buna göre h'(1) kaçtır?

    • AA) 3
    • BB) 14
    • CC) 8
    • DD) 12
    • EE) 2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 14

    Çarpım kuralına göre h'(1) = f'(1) · g(1) + f(1) · g'(1) = 3 · 4 + 2 · 1 = 14 olur. 3 sonucu, çarpımın türevini türevlerin çarpımı sanmaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

14. Kolay

    14Bir çizim programında kaydırağın yan profili f(x) = x² + 2x eğrisiyle çiziliyor. Tasarımcı, eğrinin x = 3 noktasındaki dikliğini öğrenmek için bu noktada eğriye çizilen teğetin eğimini hesaplıyor. Bu teğetin eğimi kaçtır?

    • AA) 8
    • BB) 15
    • CC) 6
    • DD) 11
    • EE) 5
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 8

    Teğetin eğimi türevin o noktadaki değeridir: f'(x) = 2x + 2 ise f'(3) = 8 olur. 15 sayısı f(3) değeridir, eğim değildir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

15. Kolay

    15Bir okulun iki deposundaki su miktarları f(t) ve g(t) litredir. Ölçümlere göre t = 1 anında f'(1) = 2 ve g'(1) = −5'tir. İki depodaki su miktarlarının farkını veren (f − g) fonksiyonunun t = 1 anındaki türevi kaçtır?

    • AA) −3
    • BB) 3
    • CC) −7
    • DD) −10
    • EE) 7
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 7

    Farkın türevi türevlerin farkıdır: (f − g)'(1) = 2 − (−5) = 7. −3 sonucu, işaret dikkate alınmadan 2 + (−5) hesaplanınca bulunur.

    Hata mı var? Düzeltme öner

16. Kolay

    16f(x) = x² fonksiyonu için lim(h→0) [(2 + h)² − 4]/h limitinin değeri kaçtır?

    • AA) 2
    • BB) 4
    • CC) 0
    • DD) 8
    • EE) 1
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 4

    Bu limit f'(2)'nin tanımıdır: [(2 + h)² − 4]/h = 4 + h olur ve h → 0 iken 4'e gider. 0 sonucu, h yerine doğrudan 0 yazıp sadeleştirmeyi atlamaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

17. Kolay

    17Yağmurdan sonra daire biçiminde büyüyen bir su birikintisinin yarıçapı r metreyken alanı A(r) = πr² metrekaredir. Bir öğrenci, alanın yarıçapa göre anlık değişim oranını veren A'(r) ifadesini yorumluyor. A'(r) ifadesi, birikintinin aşağıdaki büyüklüklerinden hangisine eşittir?

    • AA) Çevre uzunluğuna
    • BB) Çap uzunluğuna
    • CC) Alanının iki katına
    • DD) Çevresinin yarısına
    • EE) Yarıçapının karesine
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) Çevre uzunluğuna

    A(r) = πr² ise A'(r) = 2πr olur. 2πr, yarıçapı r olan çemberin uzunluğudur; yani birikintinin çevresidir. Çap 2r'dir, π çarpanı yoktur. Alanın iki katı 2πr²'dir; bu sonuç üs düşürülmeden yazılınca çıkar. Çevrenin yarısı πr'dir; bu sonuç üs öne alınmadan yazılınca çıkar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

18. Kolay

    18Kare biçimli bir arsanın alanı A metrekare iken bir kenarının uzunluğu k(A) = √A metredir. Bir emlak uzmanı, alan 25 m² iken kenar uzunluğunun alana göre anlık değişim oranını hesaplıyor. Buna göre k'(25) kaçtır?

    • AA) 1/50
    • BB) 1/25
    • CC) 1/10
    • DD) 1/5
    • EE) 5
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 1/10

    √A = A^(1/2) olduğundan k'(A) = (1/2) · A^(−1/2) = 1/(2√A) olur. A = 25 için k'(25) = 1/(2 · 5) = 1/10 bulunur. 1/5, 1/2 katsayısı unutulunca; 5, türev yerine fonksiyon değeri alınınca; 1/50 ise payda 2A alınınca çıkar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

19. Orta

    19Düz bir koridorda ilerleyen robot süpürgenin başlangıç noktasına göre konumu, t. saniyede x(t) = t³ − 2t metre olarak kaydediliyor. Mühendis, robotun t = 2 anındaki hızını ölçüm cihazının gösterdiği değerle karşılaştıracak. Robotun t = 2 anındaki anlık hızı kaç m/sn'dir?

    • AA) 4
    • BB) 12
    • CC) 2
    • DD) 8
    • EE) 10
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 10

    Anlık hız konumun türevidir: x'(t) = 3t² − 2 ve x'(2) = 12 − 2 = 10 m/sn olur. 2 seçeneği, ilk 2 saniyedeki ortalama hızın (4/2) anlık hız sanılmasından; 4 ise konumun hız sanılmasından doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

20. Orta

    20Bir kayak merkezinde pistin kesiti, x ve y metre cinsinden y = x² − 3x eğrisiyle modelleniyor. Mühendisler, x = 1 apsisli noktada piste değecek ve orada aynı eğime sahip olacak düz bir rampa yerleştirmek istiyor. Rampanın üzerinde bulunduğu doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) y = −x + 1
    • BB) y = x − 3
    • CC) y = −2x
    • DD) y = −x − 1
    • EE) y = −x − 2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) y = −x − 1

    f(1) = −2 ve f'(x) = 2x − 3 olduğundan teğetin eğimi f'(1) = −1'dir; (1, −2) noktasından geçen bu doğru y + 2 = −(x − 1), yani y = −x − 1 olur. y = −x + 1 seçeneği eğimi doğru alıp değme noktasının ordinatını yanlış yerleştirmekten doğar; bu doğru (1, 0) noktasından geçer.

    Hata mı var? Düzeltme öner