Bir Fonksiyonun Bir Noktadaki Sürekliliği

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

• MAT.12.4.4Bir fonksiyonun tanımlı olduğu noktalardaki sürekliliğini yorumlayabilme

  • a) Fonksiyonların tanımlı olduğu bir noktadaki değeri ile o noktadaki limitini inceler.
  • b) Fonksiyonların tanımlı olduğu bir noktadaki değeri ile o noktadaki limitini sürekliliğin cebirsel ifadesine dönüştürür.
  • c) Fonksiyonların tanımlı olduğu bir noktadaki sürekliliğini o noktadaki değerinin limitine eşitliği olarak ifade eder.

1. Kolay

   1Bir kargo şirketinin ücret fonksiyonu f için şu bilgiler veriliyor: paket ağırlığı 2 kg'a soldan yaklaşırken ücretin limiti 1 yüz TL, sağdan yaklaşırken limiti 4 yüz TL'dir; tam 2 kg için ücret f(2) = 4 yüz TL'dir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) f, x = 2'de süreklidir.
   • BB) f, x = 2'de süreksizdir.
   • CC) x → 2 iken limit 4'tür.
   • DD) x → 2 iken limit 1'dir.
   • EE) x → 2 iken limit 5/2'dir.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) f, x = 2'de süreksizdir.

   Soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan x = 2'de limit yoktur; bu yüzden f bu noktada süreksizdir. "Limit 4'tür" diyen öğrenci f(2) ile sağdan limitin eşitliğini yeterli sanmıştır; limit için iki yönlü limitler eşit olmalıdır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

2. Kolay

   2Bir ortak taksi uygulamasında yolculuğun kişi başı maliyeti, x yolcu sayısı olmak üzere f(x) = 5/(x + 4) kuralıyla hesaplanıyor. Yazılımcı, kuralı bütün gerçek sayılarda incelediğinde fonksiyonun sürekli olmadığı yeri buluyor. f fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) R − {4}
   • BB) R − {5}
   • CC) R
   • DD) R − {0}
   • EE) R − {−4}
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) R − {−4}

   Rasyonel fonksiyon paydayı sıfır yapmayan her noktada süreklidir; x + 4 = 0 ise x = −4 olduğundan küme R − {−4}'tür. R − {4}, paydanın sıfır yerinde işareti değiştirmeyi unutmaktan doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

3. Kolay

   3Yukarı doğru atılan bir cismin konumu, zamana bağlı olarak f(x) = x³ − 2x + 7 polinom fonksiyonuyla modelleniyor. Bir öğrenci, modeli bütün gerçek sayılar için inceleyerek grafiğin nerelerde kopukluk göstermeden çizilebildiğini araştırıyor. f fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) R
   • BB) R − {0}
   • CC) (0, ∞)
   • DD) R − {7}
   • EE) [0, ∞)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) R

   Polinom fonksiyonlar her gerçek sayıda süreklidir; bu yüzden f, R'de süreklidir. (0, ∞) cevabı, zamanın negatif olamayacağını düşünüp modelin bağlamını fonksiyonun sürekliliğiyle karıştırmaktan doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

4. Kolay

   4Bir arabanın hız göstergesindeki değeri zamana bağlı veren f fonksiyonunun, a anında sürekli olduğu biliniyor. Sürücü, bu anda ibrenin aniden sıçramadığını söylüyor ve bunun matematiksel karşılığını arıyor. f, a noktasında sürekli olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

   • AA) f(a) değeri 0'dır.
   • BB) Yalnızca soldan limit vardır.
   • CC) x → a iken limit yoktur.
   • DD) x → a iken f(x)'in limiti f(a)'dır.
   • EE) f, a noktasında türevlidir.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) x → a iken f(x)'in limiti f(a)'dır.

   Süreklilik tanımı gereği f(a) tanımlıdır, limit vardır ve limit f(a)'ya eşittir. Türevlilik süreklilikten daha güçlü bir şarttır; sürekli bir fonksiyonun grafiğinde köşe olabilir, bu yüzden türevlilik kesin değildir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

5. Kolay

   5Bir grafik programı, bütün gerçek sayılarda kopmadan çizilebilen fonksiyonları yeşil renkle gösteriyor. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi yeşil renkle çizilir?

   • AA) f(x) = 1/x
   • BB) f(x) = x/(x − 2)
   • CC) f(x) = (x + 3)/(x² − 9)
   • DD) f(x) = (x + 1)/(x² + 1)
   • EE) f(x) = 5/(x + 4)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) f(x) = (x + 1)/(x² + 1)

   x² + 1 hiçbir gerçek sayıda sıfır olmadığından (x + 1)/(x² + 1) her gerçek sayıda tanımlı ve süreklidir. Diğer fonksiyonların paydaları bazı x değerlerinde sıfır olur.

   Hata mı var? Düzeltme öner

6. Kolay

   6Bir f fonksiyonu için x → 2 iken soldan ve sağdan limitler 2'dir, ancak f(2) = 3 olarak tanımlanmıştır. f'nin x = 2'deki sürekliliği için hangisi doğrudur?

   • AA) Limit olduğu için süreklidir.
   • BB) Limit olmadığı için süreksizdir.
   • CC) Limit var ama f(2)'ye eşit olmadığından süreksizdir.
   • DD) f(2) tanımlı olduğu için süreklidir.
   • EE) Limit 3 olduğu için süreklidir.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) Limit var ama f(2)'ye eşit olmadığından süreksizdir.

   Limit 2'dir ama f(2) = 3'tür; limit fonksiyon değerine eşit olmadığından f süreksizdir. Limitin var olması tek başına sürekliliğe yetmez.

   Hata mı var? Düzeltme öner

7. Kolay

   7f(x) = 2x³ − x polinom fonksiyonu veriliyor. Bir öğrenci x = 1'de sürekliliği kontrol etmek için limiti ve fonksiyon değerini karşılaştırıyor. x → 1 iken limit ve f(1) değerleri kaçtır?

   • AA) İkisi de 1'dir.
   • BB) Limit 1, f(1) = 2'dir.
   • CC) İkisi de 2'dir.
   • DD) Limit 3, f(1) = 1'dir.
   • EE) İkisi de 0'dır.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) İkisi de 1'dir.

   f(1) = 2 − 1 = 1'dir ve polinomlarda limit fonksiyon değerine eşittir; f, x = 1'de süreklidir. 3 sonucu −x terimini toplamaktan gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

8. Kolay

   8f ve g fonksiyonları x = 2'de süreklidir; f(2) = 3 ve g(2) = −1'dir. Bir öğrenci x → 2 iken f(x) + g(x) toplamının limitini hesaplıyor. Bu limit kaçtır?

   • AA) 4
   • BB) 2
   • CC) −3
   • DD) 3
   • EE) Belirlenemez
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) 2

   Sürekli fonksiyonlarda limit fonksiyon değerine eşittir: 3 + (−1) = 2. “Belirlenemez” seçeneği sürekliliğin limiti doğrudan verdiğini gözden kaçırmaktan gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

9. Kolay

   9Bir elektrik tarifesinde x kWh tüketim için ücret 0 ≤ x ≤ 100 iken f(x) = 2x, x > 100 iken f(x) = 2x + 50 TL olarak hesaplanıyor. Ücret fonksiyonu hangi noktada süreksizdir?

   • AA) x = 0
   • BB) x = 50
   • CC) x = 200
   • DD) x = 150
   • EE) x = 100
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) x = 100

   x = 100'de soldan limit ve f(100) 200, sağdan limit 250'dir; limit olmadığından f süreksizdir. Diğer noktalarda fonksiyon doğrusal parçalarla verildiği için süreklidir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

10. Kolay

    10Bir öğretmen, f fonksiyonunun tanım kümesindeki bir a noktasında sürekli olması için gereken şartları tahtaya yazıyor. Aşağıdakilerden hangisi bu şartlardan biri değildir?

    • AA) f(a) tanımlı olmalıdır.
    • BB) x → a iken limit bulunmalıdır.
    • CC) f(a) pozitif bir sayı olmalıdır.
    • DD) x → a iken limit f(a)'ya eşit olmalıdır.
    • EE) Soldan ve sağdan limitler eşit olmalıdır.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) f(a) pozitif bir sayı olmalıdır.

    Süreklilik için f(a) tanımlı olmalı, limit var olmalı ve f(a)'ya eşit olmalıdır; f(a)'nın işaretinin bir önemi yoktur. Soldan ve sağdan limitlerin eşitliği, limitin var olması şartının bir parçasıdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

11. Kolay

    11f fonksiyonu x ≠ 2 için f(x) = x² + 1, x = 2 için f(2) = 5 olarak tanımlanıyor. f'nin x = 2'deki sürekliliği için hangisi doğrudur?

    • AA) f iki parçalı tanımlandığı için süreksizdir.
    • BB) x → 2 iken limit 4 olduğundan süreksizdir.
    • CC) x → 2 iken limit 5 ama f(2) farklı olduğundan süreksizdir.
    • DD) x → 2 iken limit olmadığından süreksizdir.
    • EE) x → 2 iken limit 5 ve f(2) = 5 olduğundan süreklidir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) x → 2 iken limit 5 ve f(2) = 5 olduğundan süreklidir.

    x → 2 iken x² + 1 ifadesinin limiti 5'tir ve f(2) = 5 olarak verilmiştir; limit fonksiyon değerine eşittir. Fonksiyonun ayrı satırlarla tanımlanması süreksizlik anlamına gelmez.

    Hata mı var? Düzeltme öner

12. Kolay

    12Bir fizik deneyinde akım f(x) = (x + 2)/(x − 5) fonksiyonuyla modelleniyor. Bu fonksiyonun sürekli olduğu en geniş küme hangisidir?

    • AA) R − {−2}
    • BB) R
    • CC) R − {−2, 5}
    • DD) R − {5}
    • EE) (5, ∞)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) R − {5}

    Rasyonel fonksiyon paydayı sıfır yapmayan her noktada süreklidir; payda x = 5'te sıfırdır. R − {−2} seçeneği payın sıfır olduğu noktayı dışlamaktan gelir; pay sıfır olunca fonksiyon tanımlıdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

13. Kolay

    13Bir öğrenci, bir fonksiyonun grafiğine bakarak bir noktada süreksiz olduğunu anlamak istiyor. Grafikteki hangi durum o noktada süreksizliği gösterir?

    • AA) Grafikte o noktada boşluk ya da sıçrama olması
    • BB) Grafiğin o noktada x eksenini kesmesi
    • CC) Grafiğin o noktada en yüksek değerini alması
    • DD) Grafiğin o noktada yön değiştirmesi
    • EE) Grafiğin o noktada y eksenini kesmesi
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) Grafikte o noktada boşluk ya da sıçrama olması

    Grafikte boşluk ya da sıçrama, limitin olmadığını ya da fonksiyon değerine eşit olmadığını gösterir. Grafiğin yön değiştirmesi ya da ekseni kesmesi sürekliliği bozmaz.

    Hata mı var? Düzeltme öner

14. Kolay

    14Bir yol profili x < 1 için f(x) = 3x − 1, x ≥ 1 için f(x) = x + 1 ile çiziliyor. Mühendis birleşme noktasında kopukluk olup olmadığını inceliyor. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • AA) Kurallar farklı olduğu için f, x = 1'de süreksizdir.
    • BB) Soldan limit 2, sağdan limit 1 olduğundan f süreksizdir.
    • CC) f(1) = 3 olduğu için f, x = 1'de süreksizdir.
    • DD) Soldan ve sağdan limitler 2 ve f(1) = 2 olduğundan f, x = 1'de süreklidir.
    • EE) Soldan limit 3, sağdan limit 2 olduğundan f süreksizdir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) Soldan ve sağdan limitler 2 ve f(1) = 2 olduğundan f, x = 1'de süreklidir.

    Soldan limit 3 · 1 − 1 = 2, sağdan limit ve f(1) = 1 + 1 = 2'dir; üçü eşit olduğundan f süreklidir. Parçaların kurallarının farklı olması tek başına süreksizlik göstermez.

    Hata mı var? Düzeltme öner

15. Kolay

    15f(x) = (x + 1)/(x³ − x) fonksiyonu veriliyor. Bir öğrenci paydayı çarpanlarına ayırarak fonksiyonun sürekli olduğu en geniş kümeyi buluyor. Bu küme hangisidir?

    • AA) R − {0, 1}
    • BB) R − {0}
    • CC) R − {−1, 1}
    • DD) R
    • EE) R − {−1, 0, 1}
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) R − {−1, 0, 1}

    x³ − x = x(x − 1)(x + 1) olduğundan payda −1, 0 ve 1'de sıfırdır; fonksiyon bu noktalarda tanımsızdır. R − {0, 1} seçeneği pay ile sadeleşen x + 1 çarpanının da tanımsızlık yarattığını gözden kaçırır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

16. Kolay

    16f(x) = 1/x fonksiyonu için öğrenciler x = 0'daki sürekliliği tartışıyor. Aşağıdaki yargılardan hangisi doğrudur?

    • AA) 0 tanım kümesinde olmadığından orada süreklilik araştırılmaz.
    • BB) f, x = 0'da süreklidir.
    • CC) f, x = 0'da limiti 0 olduğu için süreklidir.
    • DD) f, R'nin her noktasında süreklidir.
    • EE) f, yalnız pozitif sayılarda süreklidir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 0 tanım kümesinde olmadığından orada süreklilik araştırılmaz.

    Süreklilik yalnız tanım kümesindeki noktalarda araştırılır; 1/x için 0 tanım kümesinde değildir. f, tanım kümesi olan R − {0}'ın her noktasında süreklidir; yalnız pozitif sayılarda sürekli olduğu yargısı yanlıştır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

17. Kolay

    17Bir sinyal f(x) = 1/(|x − 2| − 3) fonksiyonuyla modelleniyor. Mühendis, paydayı sıfır yapan x değerlerini bulmak için mutlak değerli denklemi çözüyor. Bu fonksiyonun sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) R − {−1, 5}
    • BB) R − {5}
    • CC) R − {2}
    • DD) R − {−5, 1}
    • EE) R
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) R − {−1, 5}

    Payda |x − 2| − 3 = 0 için |x − 2| = 3 olur; x − 2 = 3 ya da x − 2 = −3'ten x = 5 ya da x = −1 bulunur. Fonksiyon paydayı sıfır yapmayan her noktada süreklidir: R − {−1, 5}. R − {5} mutlak değerin ikinci durumunu atlamaktan; R − {2} mutlak değerin içini sıfır yapmaktan; R − {−5, 1} ise işaret hatasından doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

18. Kolay

    18Bir f fonksiyonu R'de süreklidir ve her gerçek x için (x − 2) · f(x) = x² − 4 eşitliğini sağlıyor. Bir öğrenci x ≠ 2 için iki tarafı x − 2'ye bölüyor. f(2) kaçtır?

    • AA) 0
    • BB) 2
    • CC) 3
    • DD) 4
    • EE) 8
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) 4

    x ≠ 2 için f(x) = (x² − 4)/(x − 2) = x + 2'dir. f, x = 2'de sürekli olduğundan f(2) değeri x → 2 iken limite eşittir: 2 + 2 = 4. x = 2 yazıldığında eşitlik 0 = 0 olur ve f(2) hakkında bilgi vermez; f(2)'yi süreklilik belirler. 0 cevabı bu eşitlikten sonucu 0 sanmaktan doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

19. Orta

    19Bir mühendis, bir devredeki akımı f(x) = (2x + 1)/(x² − 2x + 5) fonksiyonuyla modelliyor. Devrenin hiçbir girişte kopukluk yaşamaması için fonksiyonun hangi gerçek sayılarda sürekli olduğunu kontrol ediyor. f fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) R
    • BB) R − {1}
    • CC) R − {−1, 5}
    • DD) R − {5}
    • EE) R − {−1/2}
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) R

    Paydanın diskriminantı (−2)² − 4 · 1 · 5 = −16 < 0 olduğundan payda hiçbir gerçek sayıda sıfır olmaz; fonksiyon R'de süreklidir. R − {−1/2}, payın sıfır olduğu yeri dışlamaktan doğar; payın sıfır olması sürekliliği bozmaz.

    Hata mı var? Düzeltme öner

20. Orta

    20Bir hesap makinesi programında f fonksiyonu x ≠ 1 için f(x) = (x² + 2x − 3)/(x − 1), x = 1 için f(1) = 2k olarak tanımlanmış. Programcı, grafikte x = 1'de boşluk kalmaması için k değerini ayarlıyor. f'nin x = 1'de sürekli olması için k kaç olmalıdır?

    • AA) 4
    • BB) 1
    • CC) 2
    • DD) 0
    • EE) 8
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 2

    x² + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3) olduğundan x → 1 iken limit 1 + 3 = 4'tür; süreklilik için 2k = 4, yani k = 2 olmalıdır. 4 bulan öğrenci limiti doğrudan k'ye eşitlemiş, f(1) = 2k olduğunu gözden kaçırmıştır.

    Hata mı var? Düzeltme öner