İçeriğe geç
dershanede

Influencer ortaklığı

Takipçilerine indirim, sana kazanç

Yükleniyor…

12. Sınıf Matematik · Türev

Bir Fonksiyonun Artan veya Azalan Olduğu Aralıklar

  • artan fonksiyon
  • azalan fonksiyon
  • türev
  • teğet
  • eğim
  • işaret tablosu

Bir fonksiyonun artan ve azalan aralıkları türevle nasıl bulunur?

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar, türevin işaretine bakılarak bulunur: f'(x) > 0 olan aralıkta f artan, f'(x) < 0 olan aralıkta azalandır. Tanıma göre bir aralıkta x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) oluyorsa fonksiyon artan, f(x₁) > f(x₂) oluyorsa azalan, eşitse sabittir. Türevin geometrik anlamı bunu açıklar: f'(a) = tan α, yani x = a noktasındaki teğetin eğimidir ve teğet x ekseniyle pozitif yönde dar açı yapıyorsa eğim pozitif olur. Yöntemde önce f'(x) bulunur, f'(x) = 0 denklemi çözülür, kökler sayı doğrusuna yerleştirilir ve işaret tablosu yapılır. Örneğin f(x) = x³ − 3x için f'(x) = 3(x − 1)(x + 1) olur; f, (−∞, −1) ve (1, ∞) aralıklarında artan, (−1, 1) aralığında azalandır. İşaret tablosunda tek katlı köklerde işaret değişir, çift katlı köklerde ise değişmez. Bir fonksiyonun bir aralıkta hep artan olması istenirse o aralıkta f'(x) ≥ 0 şartı aranır.

Bir Fonksiyonun Artan veya Azalan Olduğu Aralıklar: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, türevin işaretine bakarak bir fonksiyonun hangi aralıklarda arttığını ya da azaldığını belirlemeyi anlatıyor.

  • Bir aralıkta x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) oluyorsa f o aralıkta artandır. f(x₁) > f(x₂) oluyorsa azalandır. f(x₁) = f(x₂) oluyorsa sabittir.
  • f'(a), grafiğe x = a'da çizilen teğetin eğimidir: f'(a) = tan α. Teğet x ekseniyle pozitif yönde dar açı yapıyorsa eğim pozitif, geniş açı yapıyorsa negatiftir.
  • Bir aralıkta f'(x) > 0 ise f artan, f'(x) < 0 ise azalandır. Her noktada f'(x) = 0 ise f sabittir.
  • Yöntem: f'(x)'i bul, f'(x) = 0 denklemini çöz, kökleri sayı doğrusuna yerleştir ve türevin işaret tablosunu yap.
  • Örnek: f(x) = x³ − 3x için f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) olur. f' türevi (−∞, −1) ve (1, ∞) aralıklarında pozitif, (−1, 1) aralığında negatiftir. Yani f (−∞, −1) ve (1, ∞) aralıklarında artan, (−1, 1) aralığında azalandır.
  • Bir fonksiyonun bir aralıkta hep artan olması istenirse o aralıkta f'(x) ≥ 0 şartı aranır.

Unutma: İşaret tablosunda tek katlı köklerde işaret değişir, çift katlı köklerde değişmez. Bu ayrım artan ve azalan aralıkları doğru yazmanın anahtarıdır.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:

Önce temeli pekiştir

Artanlık ve azalanlığa türevin işaretiyle karar verilir; fonksiyonun kendi işaretiyle değil.

  1. f(x) = x² − 4x için türevi al: f'(x) = 2x − 4.
  2. Türevi sıfır yapan noktayı bul: 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2.
  3. Bu noktanın iki yanından birer sayı dene: x = 0 için f'(0) = −4 < 0, x = 3 için f'(3) = 2 > 0.
  4. Sonuç: f, (−∞, 2) aralığında azalan, (2, ∞) aralığında artandır.

Günlük hayattan: Bir dağ yolunda yokuş yukarı giderken eğim pozitif, inişte negatiftir. Yükseklik deniz seviyesinin altında olsa bile (örneğin bir çukurda) yokuş çıkıyorsan yükseklik artıyordur.

Sık yapılan hata: f(x) negatif olan yerde fonksiyonu azalan sanmak. Yukarıdaki örnekte f(3) = −3 negatiftir ama f orada artandır; çünkü bakılması gereken f'(3)'tür.

Derinleş

Türkiye İstatistik Kurumu'nun yıllara göre bir veri setini (ör. ilindeki nüfus ya da doğum sayısı) bul ve grafiğini çiz. Grafiğin hangi yıllarda arttığını, hangi yıllarda azaldığını belirle ve ardışık yıllar arasındaki değişim oranlarını hesapla. Artışın hızlandığı ya da yavaşladığı dönemleri hangi toplumsal ya da ekonomik gelişmeler açıklayabilir? Bulduğun nedenleri kaynakla destekle.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

  • MAT.12.4.8Bir fonksiyonun ve onun türev fonksiyonunun matematiksel temsillerine ve

    • b) Varsayımlarından yararlanıp farklı durumlarla ilgili örüntüleri listeleyerek bir fonksiyonun ve onun türev fonksiyonunun matematiksel temsilleri ve bunlar arasındaki ilişkiye yönelik örüntüleri geneller.
    • c) Bir fonksiyonun ve onun türev fonksiyonunun matematiksel temsilleri ve bunlar arasındaki ilişkiye dair genellemeleri ile varsayımlarını karşılaştırır.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalışKonu testini çöz

  1. Kolay

    1Bir kayak pistinin kesiti y = f(x) grafiğiyle modelleniyor ve x = 2 noktasındaki kayakçının hız göstergesi f'(2) < 0 değerini gösteriyor. Pist mühendisi, bu noktada piste çizilen teğetin x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açıyı inceliyor. Bu açı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • A) Dar açıdır.
    • B) Geniş açıdır.
    • C) Dik açıdır.
    • D) Ölçüsü 0°'dir.
    • E) Ölçüsü 180°'dir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) Geniş açıdır.

    Teğetin eğimi tan α = f'(2) < 0 olduğundan α, 90° ile 180° arasında, yani geniş açıdır. Dar açı seçeneği, eğimin işareti ile açının türünün ilişkisini ters kurmaktan doğar; dar açılı teğetlerin eğimi pozitiftir.

  2. Kolay

    2Bir uygulamanın kayıtlı kullanıcı sayısı f(x) = x³ + 2x modeliyle tahmin ediliyor; x, belirli bir tarihten itibaren geçen ay sayısıdır ve model, öncesini temsil eden negatif değerler için de kullanılıyor. Analist, modelin bütün gerçek sayılardaki artma ve azalma davranışını belirliyor. f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • A) R'de azalandır.
    • B) Yalnız x > 0 için artandır.
    • C) (−1, 1) aralığında azalandır.
    • D) R'de artandır.
    • E) x = 0'da yerel minimumu vardır.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) R'de artandır.

    f'(x) = 3x² + 2 her x için en az 2 olduğundan pozitiftir ve f, R'de artandır. "Yalnız x > 0 için artandır" seçeneği, x < 0 iken f(x) değerlerinin negatif olmasını azalanlık sanmaktan doğar.

  3. Kolay

    3Matematik kulübünde Ece, f(x) = 4 − 3x fonksiyonunu inceliyor. Arkadaşı Mert yalnızca x = 1, 2, 3 için değerleri hesaplayıp "x > 0 için fonksiyon azalıyor, negatif x'lerde ne olduğunu bilemeyiz" diyor; Ece ise türevi kullanarak bütün gerçek sayılar için bir yargıya varıyor. Ece'nin vardığı doğru yargı aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) R'de artandır.
    • B) x > 0 için artandır.
    • C) Sabit fonksiyondur.
    • D) R'de azalandır.
    • E) x < 0 için artan, x > 0 için azalandır.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) R'de azalandır.

    f'(x) = −3 her x için negatif olduğundan f, R'nin tamamında azalandır. "x < 0 için artan" seçeneği, negatif x değerlerinde fonksiyon değerlerinin büyük olmasının artanlık sanılmasından doğar; artanlık değerlerin büyüklüğüne değil değişim yönüne bağlıdır.

  4. Kolay

    4Bir ilçenin nüfusu N(t) fonksiyonuyla modelleniyor; t, 2010'dan itibaren geçen yıl sayısıdır. Belediyenin raporuna göre (0, 10) aralığındaki her t değeri için N'(t) > 0'dır. Bu bilgiye göre 2010–2020 arasındaki nüfus için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

    • A) Bu aralıkta nüfus sürekli artmıştır.
    • B) Bu aralıkta nüfus sürekli azalmıştır.
    • C) Bu aralıkta nüfus hiç değişmemiştir.
    • D) Nüfus önce artmış, sonra azalmıştır.
    • E) Nüfus her yıl aynı miktarda artmıştır.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) Bu aralıkta nüfus sürekli artmıştır.

    Bir aralıktaki her noktada türev pozitifse fonksiyon o aralıkta artandır. "Her yıl aynı miktarda artmıştır" seçeneği, artan fonksiyonun doğrusal olması gerektiğini sanmaktan doğar; türevin pozitif olması artışın hızının sabit olduğunu göstermez.

  5. Kolay

    5Bir dağ yolunun profilini veren türevlenebilir f fonksiyonunun grafiğine x = a noktasında çizilen teğet, x ekseniyle pozitif yönde 120°'lik açı yapıyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • A) f'(a) < 0
    • B) f'(a) > 0
    • C) f'(a) = 0
    • D) f'(a) = 120
    • E) f(a) < 0
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) f'(a) < 0

    Teğetin eğimi tan 120° olup negatiftir ve bu eğim f'(a)'ya eşittir. f(a) < 0 seçeneği, türevin işaretini fonksiyon değerinin işaretiyle karıştırır.

  6. Kolay

    6Bir firmanın kârını veren f fonksiyonunun türevi f'(x) = 2x − 8 olarak bulunmuştur. f fonksiyonunun artan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) (−∞, 4)
    • B) (4, ∞)
    • C) (8, ∞)
    • D) (−∞, 8)
    • E) (2, ∞)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) (4, ∞)

    f'(x) = 2x − 8 > 0 eşitsizliğinden x > 4 bulunur. (8, ∞) seçeneği, eşitsizlikte 8'i 2'ye bölmeyi unutmaktan gelir.

  7. Kolay

    7Bir çaydanlıktaki suyun sıcaklığı ocaktan alındıktan sonra her dakika ölçülüyor: x (dk): 1, 2, 3, 4 f(x) (°C): 90, 84, 79, 75 Ölçümler bu eğilimi koruduğuna göre f fonksiyonu bu aralıkta nasıl davranır?

    • A) Artandır.
    • B) Sabittir.
    • C) Azalandır.
    • D) Önce artar, sonra azalır.
    • E) Önce azalır, sonra artar.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) Azalandır.

    x değerleri büyüdükçe f(x) değerleri küçüldüğünden, yani x₁ < x₂ iken f(x₁) > f(x₂) olduğundan f azalandır. Değerlerin pozitif olması fonksiyonu artan yapmaz.

  8. Kolay

    8Bir su deposunun seviyesini veren f fonksiyonu için (1, 3) aralığındaki her x değerinde f'(x) = 0'dır. Buna göre f bu aralıkta nasıldır?

    • A) Artandır.
    • B) Sabittir.
    • C) Azalandır.
    • D) Önce artar, sonra azalır.
    • E) Her x için f(x) = 0'dır.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) Sabittir.

    Türevin bir aralıkta her yerde sıfır olması, fonksiyonun o aralıkta sabit olduğunu gösterir. Sabitin sıfır olması gerekmez; f(x) = 0 seçeneği türev ile fonksiyonu karıştırır.

  9. Kolay

    9f(x) = x³ − 12x fonksiyonunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) (−∞, −2)
    • B) (2, ∞)
    • C) (−12, 12)
    • D) (−2, 2)
    • E) (0, 2)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) (−2, 2)

    f'(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2) olup kökler arasında negatiftir; f (−2, 2) aralığında azalandır. (−∞, −2) aralığında türev pozitiftir.

  10. Kolay

    10Bir yürüyüş parkurunun yükseklik profili f(x) = x² − 6x fonksiyonuyla modelleniyor; x yatay konumdur. f fonksiyonunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) (3, ∞)
    • B) (−∞, 6)
    • C) (0, 6)
    • D) (−3, ∞)
    • E) (−∞, 3)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) (−∞, 3)

    f'(x) = 2x − 6 < 0 eşitsizliğinden x < 3 bulunur, yani f (−∞, 3) aralığında azalandır. (0, 6) aralığı, fonksiyonun negatif olduğu yerle azalan olduğu yerin karıştırılmasıdır.

  11. Kolay

    11f(x) = x³ − 3x² fonksiyonunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) (−∞, 0)
    • B) (0, 2)
    • C) (2, ∞)
    • D) (0, 3)
    • E) (−∞, 2)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) (0, 2)

    f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) olup 0 ile 2 arasında negatiftir. (0, 3) aralığı, türevin kökleri yerine fonksiyonun kökleri kullanılınca bulunur.

  12. Kolay

    12Bir asma köprünün taşıyıcı kablosu f(x) = x² + 4x + 1 eğrisiyle modelleniyor. f fonksiyonunun artan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) (−∞, −2)
    • B) (−2, ∞)
    • C) (2, ∞)
    • D) (−4, ∞)
    • E) (−∞, 2)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) (−2, ∞)

    f'(x) = 2x + 4 > 0 eşitsizliğinden x > −2 bulunur. (2, ∞) seçeneği, 2x + 4 = 0 denklemi çözülürken işaret hatası yapmaktan gelir.

  13. Kolay

    13Bir kaykay rampasının profilini veren f fonksiyonunun grafiğine x = a noktasında çizilen teğet, x ekseniyle pozitif yönde 45°'lik açı yapıyor. Buna göre f'(a) kaçtır?

    • A) 1
    • B) 0
    • C) −1
    • D) 45
    • E) √2/2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 1

    Teğetin eğimi f'(a) = tan 45° = 1'dir. √2/2 seçeneği, tanjant yerine sinüs ya da kosinüs değerinin kullanılmasıdır.

  14. Kolay

    14Bir f fonksiyonunun türevinin işaret tablosu şöyledir: (−∞, −2) aralığında f' negatif, (−2, 5) aralığında f' pozitif, (5, ∞) aralığında f' negatif. f fonksiyonunun artan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) (−∞, −2)
    • B) (5, ∞)
    • C) (−2, 5)
    • D) (−∞, 5)
    • E) (−2, ∞)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) (−2, 5)

    Türevin pozitif olduğu aralıkta fonksiyon artandır, bu da (−2, 5) aralığıdır. (−2, ∞) seçeneği, 5'ten sonra türevin yeniden negatif olduğunu gözden kaçırır.

  15. Kolay

    15Bir fırının iç sıcaklığını gösteren T(t) grafiği, [0, 10] dakika aralığı boyunca soldan sağa sürekli yükseliyor ve teğetleri hep sağa yatık. Bu aralıktaki T'(t) değerleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • A) T'(t) < 0
    • B) T'(t) = 0
    • C) T(t) < 0
    • D) T'(t) > 0
    • E) T'(t) = 10
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) T'(t) > 0

    Sağa yatık teğetler x ekseniyle dar açı yapar, eğimleri pozitiftir; bu yüzden T'(t) > 0'dır. T'(t) = 0, yalnız yatay teğet olan noktalar için geçerlidir.

  16. Kolay

    16Bir bitkinin boyunu veren f fonksiyonunun (1, 6) aralığındaki her x için f'(x) > 0 olduğu biliniyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

    • A) f(2) < f(5)
    • B) f(2) > f(5)
    • C) f(2) = f(5)
    • D) f(5) < 0
    • E) f'(2) > f'(5)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) f(2) < f(5)

    Türev aralıkta pozitif olduğundan f artandır; 2 < 5 iken f(2) < f(5) olur. f'(2) > f'(5) için bilgi yoktur; türevin pozitif olması, türevin azaldığını göstermez.

  17. Kolay

    17Bir su deposunun hacmi 50 m³'tür. Depodaki su miktarı t. saatte f(t) m³ ve bu süreçte her t için f'(t) > 0'dır. Depodaki boş hacim g(t) = 50 − f(t) fonksiyonuyla hesaplanıyor. g fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • A) g azalandır, çünkü g'(t) = −f'(t) < 0'dır.
    • B) g artandır, çünkü g'(t) = f'(t) > 0'dır.
    • C) g sabittir, çünkü 50 sayısının türevi 0'dır.
    • D) g artandır, çünkü f artan olduğundan g de artar.
    • E) g'nin artan mı azalan mı olduğu belirlenemez.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) g azalandır, çünkü g'(t) = −f'(t) < 0'dır.

    g'(t) = (50)' − f'(t) = −f'(t) olur. f'(t) > 0 olduğundan g'(t) < 0'dır; türevi negatif olan g azalandır. Sabitin türevinin 0 olması g'yi sabit yapmaz, çünkü f(t) terimi hâlâ değişmektedir. Çıkarmadaki eksi işareti unutulursa g artan sanılır.

  18. Kolay

    18Bir göletin su seviyesi türevlenebilir bir f fonksiyonuyla modelleniyor. Ölçümlere göre 1. günde f(1) = 7 metre, 4. günde f(4) = 2 metredir. Aradaki günlerde ölçüm yapılmamıştır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

    • A) (1, 4) aralığındaki her x için f'(x) = −5/3'tür.
    • B) (1, 4) aralığındaki her x için f'(x) < 0'dır.
    • C) f, [1, 4] aralığının tamamında azalandır.
    • D) (1, 4) aralığında f'(x) = 0 olan bir x vardır.
    • E) f, [1, 4] aralığının tamamında artan olamaz.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) f, [1, 4] aralığının tamamında artan olamaz.

    f, [1, 4]'te artan olsaydı 1 < 4 iken f(1) < f(4) olması gerekirdi; oysa 7 > 2'dir. Bu yüzden f bu aralığın tamamında artan olamaz. Öteki yargılar kesin değildir: seviye arada kısa süre yükselip sonra düşmüş olabilir, bu durumda f her yerde azalan olmaz ve türev her yerde negatif olmaz. −5/3 yalnız ortalama değişim oranıdır. Seviye hiç duraksamadan da düşmüş olabileceğinden f'(x) = 0 olan bir nokta bulunmak zorunda değildir.

  19. Orta

    19Bir araştırmacı, bir bitkinin boyunu modelleyen f fonksiyonunun kendisini bilmiyor; yalnızca her x gerçek sayısı için f'(x) = x² + 1 olduğunu biliyor. Kayıtlardaki üç ölçüm a = f(−3), b = f(0) ve c = f(2) olarak gösteriliyor. Bu üç değerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) c < b < a
    • B) b < a < c
    • C) a < c < b
    • D) b < c < a
    • E) a < b < c
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) a < b < c

    f'(x) = x² + 1 > 0 olduğundan f, R'de artandır; −3 < 0 < 2 ise f(−3) < f(0) < f(2) olur. b < c < a seçeneği, f yerine türevin değerlerinin (f'(−3) = 10, f'(0) = 1, f'(2) = 5) sıralanmasından doğar; türevin büyüklüğü fonksiyon değerini değil artış hızını gösterir.

  20. Orta

    20Bir kamera uygulaması, odak ayarı x iken görüntü büyütmesini f(x) = (x + 1)/(x − 2) formülüyle hesaplıyor; x = 2 için formül tanımsızdır. Yazılım ekibi, ayar değiştikçe büyütmenin hangi yönde değiştiğini belgelemek istiyor. f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • A) Tanımlı olduğu her aralıkta artandır.
    • B) Tanımlı olduğu her aralıkta azalandır.
    • C) (−∞, 2) aralığında artan, (2, ∞) aralığında azalandır.
    • D) x > −1 için artandır.
    • E) Bütün R'de azalandır.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) Tanımlı olduğu her aralıkta azalandır.

    f'(x) = [(x − 2) − (x + 1)]/(x − 2)² = −3/(x − 2)² tanım kümesinin her yerinde negatiftir; f, (−∞, 2) ve (2, ∞) aralıklarının her birinde azalandır. "Bütün R'de azalandır" seçeneği yanlıştır: f, x = 2'de tanımsızdır ve f(1) = −2 < f(3) = 4 olduğundan iki aralık birlikte ele alınınca azalanlık bozulur.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.