12. Sınıf Matematik · Türev

Türev Yardımıyla Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizimi

grafik çizimi
polinom fonksiyon
türev
işaret tablosu
ekstremum noktası
çift katlı kök
artan fonksiyon

Türev yardımıyla bir polinom fonksiyonun grafiği nasıl çizilir?

Türev yardımıyla grafik çizimi, eksenleri kesim noktaları ile türevden elde edilen artanlık, azalanlık ve ekstremum bilgilerinin birleştirilmesiyle yapılır. Polinom fonksiyonların en geniş tanım kümesi R olduğu için çizim bu küme üzerinde yapılır. Önce x = 0 yazılarak y eksenini kestiği nokta, f(x) = 0 denkleminin kökleriyle de x eksenini kestiği noktalar bulunur. Tek katlı bir kökte grafik x eksenini keserek geçer, çift katlı bir kökte x eksenine teğet olur. Ardından f'(x) = 0 çözülür ve türevin işaret tablosu yapılır. Örneğin f(x) = x³ − 3x² = x²(x − 3) fonksiyonu x = 0'da eksene teğettir, x = 3'te ekseni keser. f'(x) = 3x(x − 2) olduğundan yerel maksimum f(0) = 0, yerel minimum f(2) = −4'tür. Son olarak noktalar işaretlenir ve kesintisiz bir eğriyle birleştirilir; başkatsayının işareti grafiğin uç davranışını belirler.

Türev Yardımıyla Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizimi: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, eksenleri kesim noktaları ile türevden elde edilen artanlık-azalanlık ve ekstremum bilgilerini birleştirerek polinom fonksiyonların grafiğini çizmeyi anlatıyor.

Polinom fonksiyonların en geniş tanım kümesi R'dir. Grafik çizimi bu küme üzerinde yapılır.
Eksen kesişimleri: x = 0 için y eksenini kestiği nokta bulunur. f(x) = 0 denkleminin kökleri x eksenini kestiği noktalardır.
Tek katlı bir kökte grafik x eksenini keserek geçer, çift katlı bir kökte x eksenine teğet olur.
f'(x) = 0 denklemini çözüp türevin işaret tablosunu yap. Artan ve azalan aralıkları, yerel maksimum ve minimum noktalarını belirle.
Örnek: f(x) = x³ − 3x² = x²(x − 3) olsun. Grafik x = 0'da x eksenine teğettir (çift katlı kök), x = 3'te ekseni keser.
f(x) = x³ − 3x² grafiği: x = 0’da eksene teğet (yerel maksimum 0), x = 3’te ekseni keser; yerel minimum (2, −4)
Aynı örnekte f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) olur. f, (−∞, 0) ve (2, ∞) aralıklarında artan, (0, 2) aralığında azalandır. Yerel maksimum f(0) = 0, yerel minimum f(2) = 8 − 12 = −4'tür.
Son olarak bu noktalar işaretlenir ve işaret tablosundaki artış-azalışa uygun, kesintisiz bir eğriyle birleştirilir.

Unutma: Başkatsayının işareti grafiğin uç davranışını belirler. Tek dereceli ve başkatsayısı pozitif bir polinom solda −∞'dan başlar, sağda +∞'a gider.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Grafik çizimini bir kontrol listesi gibi sırayla yap. Örnek: f(x) = x³ − 12x.

Eksenler: f(0) = 0, grafik orijinden geçer. f(x) = x(x² − 12) = 0 ⇒ x = 0 ve x = ±2√3 ≈ ±3,46.
Türev: f'(x) = 3x² − 12 = 0 ⇒ x = −2 ve x = 2.
İşaret tablosu: x < −2'de f' > 0 (artan), −2 < x < 2'de f' < 0 (azalan), x > 2'de f' > 0 (artan).
Önemli noktalar: f(−2) = 16 yerel maksimum, f(2) = −16 yerel minimum.
Noktaları işaretle ve tablodaki artma-azalma yönlerine uyarak düzgün bir eğriyle birleştir.

Günlük hayattan: Bir hız trenini tasarlayan mühendis tepe ve çukurların yerini önce belirler, rayın gerisini bu noktalara göre kıvırır.

Sık yapılan hata: Çift katlı bir kökte grafiği ekseni kesip geçiyormuş gibi çizmek. Doğrusu: Çift katlı kökte grafik eksene değer ve geri döner.

Derinleş

Kendin üçüncü dereceden bir polinom seç ve grafiğini yalnızca türev bilgisiyle elde çiz. Sonra aynı fonksiyonu GeoGebra ya da Desmos gibi bir programda çizdirip karşılaştır. Elde çiziminde hangi bilgi eksik kaldı (örneğin büküm noktası ya da eğriliğin yönü)? İkinci türevin bu eksikliği gidermeye nasıl yardımcı olabileceğini araştır.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.12.4.8Bir fonksiyonun ve onun türev fonksiyonunun matematiksel temsillerine ve
- a) Referans fonksiyonlar, türevin limit tanımı, fonksiyonlarda türev alma kuralları ile ilgili önceki bilgilerinden faydalanarak bir fonksiyonun ve onun türev fonksiyonunun matematiksel temsilleri ve bunlar arasındaki ilişkiye dair varsayımlarda bulunur.
- c) Bir fonksiyonun ve onun türev fonksiyonunun matematiksel temsilleri ve bunlar arasındaki ilişkiye dair genellemeleri ile varsayımlarını karşılaştırır.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir kargo şirketi, bir aracın x. saatteki yakıt durumunu f(x) = x³ − 2x² + 5x − 6 modeliyle gösteren bir grafik çiziyor. Grafiğin y eksenini kestiği nokta, aracın başlangıç anındaki (x = 0) durumunu gösteriyor. Grafiğin y eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (−6, 0)
- B) (0, 6)
- C) (0, −6)
- D) (6, 0)
- E) (0, 5)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) (0, −6)
y ekseni üzerindeki noktalarda x = 0'dır; f(0) = −6 olduğundan nokta (0, −6)'dır. (−6, 0) seçeneği, koordinatların sırasının karıştırılmasından doğar; bu nokta x ekseni üzerindedir.
Kolay
2Bir bilgisayar grafiği programında çizilen bir polinom fonksiyonun grafiği, x = 3 noktasında x eksenine değip kesmeden geri dönüyor; yani grafik bu noktada x eksenine teğettir. Öğrenci bu durumu denklemin kökleriyle ilişkilendirmek istiyor. x = 3 için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) f(x) = 0 denkleminin tek katlı köküdür.
- B) f(x) = 0 denkleminin kökü değildir.
- C) f(x) = 0 denkleminin çift katlı köküdür.
- D) Grafiğin y eksenini kestiği noktadır.
- E) Fonksiyonun tanımsız olduğu noktadır.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) f(x) = 0 denkleminin çift katlı köküdür.
Grafik x eksenine değip işaret değiştirmeden geri dönüyorsa o nokta çift katlı köktür; hem f(3) = 0 hem f'(3) = 0'dır. Tek katlı kök seçeneği, grafiğin x eksenine değdiği her noktada kestiğini sanmaktan doğar; tek katlı kökte grafik ekseni keserek işaret değiştirir.
Kolay
3Bir mimar, bir köprü kemerinin profilini çizim programına polinom fonksiyonu olarak giriyor. Program, girilen fonksiyonun hangi x değerleri için hesaplanabileceğini, yani en geniş tanım kümesini ekranın köşesinde gösteriyor. Polinom fonksiyonlar için ekranda görünmesi gereken en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) R
- B) R − {0}
- C) [0, ∞)
- D) Z
- E) N
Cevabı göster
Doğru cevap: A) R
Polinomlar yalnızca toplama, çıkarma ve çarpma içerdiğinden her gerçek sayı için hesaplanabilir; en geniş tanım kümesi R'dir. R − {0} seçeneği, polinomların rasyonel fonksiyonlar gibi paydası sıfır olan noktalarda tanımsız olduğunu sanmaktan doğar.
Kolay
4Bir fizik simülasyonunda bir parçacığın potansiyel enerjisi f(x) = −x⁴ + 5x² fonksiyonuyla modelleniyor. Araştırmacı, parçacık merkezden çok uzaklaştığında, yani x → −∞ ve x → +∞ iken grafiğin uçlarda nasıl davrandığını belirlemek istiyor. Grafiğin uçlardaki davranışı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) İki uçta da aşağı doğru (−∞'a) gider.
- B) İki uçta da yukarı doğru (+∞'a) gider.
- C) Solda aşağı, sağda yukarı doğru gider.
- D) Solda yukarı, sağda aşağı doğru gider.
- E) İki uçta da 5 değerine yaklaşır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) İki uçta da aşağı doğru (−∞'a) gider.
Uç davranışı en yüksek dereceli terim belirler: −x⁴ terimi çift dereceli ve katsayısı negatif olduğundan iki uçta da −∞'a gider. İki ucun da +∞'a gittiğini söyleyen seçenek, baş katsayının negatif işaretini gözden kaçırmaktan doğar.
Kolay
5Bir grafik programına girilen f(x) = −2x³ + x fonksiyonu için ekranın sağ ucunda, yani x → +∞ iken, grafik nasıl davranır?
- A) f(x) → −∞
- B) f(x) → +∞
- C) f(x) → 0
- D) f(x) → −2
- E) f(x) → 1
Cevabı göster
Doğru cevap: A) f(x) → −∞
Büyük x değerlerinde −2x³ terimi baskındır ve baş katsayı negatif olduğundan f(x) → −∞ olur. +∞ yanıtı baş katsayının işaretini gözden kaçırır.
Kolay
6Bir f polinom fonksiyonu için x < 1 iken f'(x) > 0, x > 1 iken f'(x) < 0 ve f(1) = 5'tir. f'nin grafiği için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) (1, 5) noktası bir çukur noktasıdır.
- B) Grafik x eksenini (1, 0)'da keser.
- C) (1, 5) noktası bir tepe noktasıdır.
- D) (5, 1) noktası bir tepe noktasıdır.
- E) Grafik her yerde artandır.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) (1, 5) noktası bir tepe noktasıdır.
Fonksiyon x = 1'e kadar artıp sonra azaldığı için (1, 5) yerel maksimum, yani tepe noktasıdır. Çukur noktası için önce azalış sonra artış gerekir.
Kolay
7f(x) = 2x³ − 5x + 1 polinom fonksiyonunun grafiğinin uç davranışı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) x → −∞ iken f(x) → −∞, x → +∞ iken f(x) → +∞
- B) x → −∞ iken f(x) → +∞, x → +∞ iken f(x) → −∞
- C) x → −∞ iken f(x) → +∞, x → +∞ iken f(x) → +∞
- D) x → −∞ iken f(x) → −∞, x → +∞ iken f(x) → −∞
- E) x → ±∞ iken f(x) → 1
Cevabı göster
Doğru cevap: A) x → −∞ iken f(x) → −∞, x → +∞ iken f(x) → +∞
Tek dereceli ve baş katsayısı pozitif bir polinom solda −∞'dan başlar, sağda +∞'a gider. Her iki uçta +∞ davranışı çift dereceli polinomlara özgüdür.
Kolay
8f(x) = (x + 1)(x − 2)² polinom fonksiyonunun grafiği x eksenini kaç farklı noktada keser ya da x eksenine kaç farklı noktada değer?
- A) 2
- B) 3
- C) 1
- D) 0
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 2
Kökler −1 ve 2'dir; 2 çift katlı olduğundan grafik orada eksene teğettir ama yine eksene değer. Toplam iki farklı nokta vardır; 3 yanıtı çift katlı kökü iki kez saymaktan gelir.
Kolay
9Bir kemer kapının profili f(x) = −x² + 4 grafiğiyle çiziliyor. Bu grafik için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) (0, 4) çukur noktasıdır; grafik x eksenini −2 ve 2'de keser.
- B) (0, −4) tepe noktasıdır; grafik x eksenini −2 ve 2'de keser.
- C) (0, 4) tepe noktasıdır; grafik x eksenini −2 ve 2'de keser.
- D) (4, 0) tepe noktasıdır; grafik x eksenini −2 ve 2'de keser.
- E) (0, 4) tepe noktasıdır; grafik x eksenini −4 ve 4'te keser.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) (0, 4) tepe noktasıdır; grafik x eksenini −2 ve 2'de keser.
f'(x) = −2x türevi 0'da + 'dan −'ye geçer, tepe f(0) = 4'tür; −x² + 4 = 0'dan x = ±2 bulunur. ±4 seçeneği, karekök almayı unutmaktan gelir.
Kolay
10Bir öğrenci, f(x) = x(x − 2)(x + 3) fonksiyonunun grafiğini çizmeye eksenleri kestiği noktaları bularak başlıyor. Grafiğin x eksenini kestiği noktaların apsisleri aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 3, 0 ve −2
- B) Yalnız 0 ve 2
- C) −3, 0 ve 2
- D) Yalnız −3 ve 2
- E) −3, 2 ve 6
Cevabı göster
Doğru cevap: C) −3, 0 ve 2
f(x) = 0 denkleminin kökleri x = 0, x − 2 = 0 ve x + 3 = 0'dan 0, 2 ve −3'tür. 3, 0 ve −2 seçeneği, çarpanlardaki sayıların işaretini değiştirmeden almaktan gelir.
Kolay
11f(x) = (x − 1)(x − 3)(x − 5) fonksiyonunun grafiği inceleniyor. Grafiğin konumu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) (1, 3) aralığında x ekseninin üstündedir.
- B) (1, 3) aralığında x ekseninin altındadır.
- C) (3, 5) aralığında x ekseninin üstündedir.
- D) (−∞, 1) aralığında x ekseninin üstündedir.
- E) (5, ∞) aralığında x ekseninin altındadır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (1, 3) aralığında x ekseninin üstündedir.
Örneğin x = 2 için (1)(−1)(−3) = 3 > 0 olduğundan grafik (1, 3) aralığında x ekseninin üstündedir. x = 4 için değer −3 olduğundan (3, 5) aralığında grafik eksenin altındadır.
Kolay
12Bir f fonksiyonunun türevi için x < 2 iken f'(x) < 0, x > 2 iken f'(x) > 0'dır ve f(2) = −1'dir. f'nin grafiğinin en alt noktası aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (−1, 2)
- B) (2, 1)
- C) (0, −1)
- D) (−2, −1)
- E) (2, −1)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (2, −1)
Fonksiyon x = 2'ye kadar azalıp sonra arttığı için en alt nokta (2, f(2)) = (2, −1)'dir. (−1, 2) seçeneği apsis ile ordinatın yerini değiştirir.
Kolay
13Bir öğrenci, bir polinom fonksiyonun grafiğini türev yardımıyla çizmek için yapacağı işleri sıralıyor. Aşağıdaki sıralamalardan hangisi konuda önerilen yönteme uygundur?
- A) Noktaları birleştir, eksen kesimlerini bul, türevin işaret tablosunu yap.
- B) Eksen kesimlerini bul, türevin işaret tablosunu yap, noktaları kesintisiz eğriyle birleştir.
- C) Türevin işaret tablosunu yap, noktaları birleştir, eksen kesimlerini en son bul.
- D) Yalnız birkaç x değeri için f(x) hesapla ve noktaları doğrularla birleştir.
- E) Yalnız türevin köklerini bul ve bu noktaları birleştir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Eksen kesimlerini bul, türevin işaret tablosunu yap, noktaları kesintisiz eğriyle birleştir.
Önce eksen kesimleri bulunur, sonra türevle artanlık, azalanlık ve ekstremumlar belirlenir, en son noktalar kesintisiz bir eğriyle birleştirilir. Birkaç noktayı doğrularla birleştirmek tepe ve çukurları kaçırabilir.
Kolay
14Bir bahçe yolunun kenar çizgisi f(x) = x² − 6x + 8 grafiğiyle çizilecek. Bu grafiğin eksenleri kestiği noktalar aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (−2, 0), (−4, 0) ve (0, 8)
- B) (2, 0), (4, 0) ve (0, −8)
- C) (0, 2), (0, 4) ve (8, 0)
- D) (2, 0), (4, 0) ve (0, 6)
- E) (2, 0), (4, 0) ve (0, 8)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (2, 0), (4, 0) ve (0, 8)
f(x) = (x − 2)(x − 4) = 0'dan x eksenini 2 ve 4'te, x = 0 için f(0) = 8 olduğundan y eksenini 8'de keser. (0, 2), (0, 4) seçeneği koordinatların sırasını karıştırır.
Kolay
15Bir kaykay pistinin kesiti f(x) = x³ − 3x² + 4 fonksiyonuyla çiziliyor. Grafiğin yerel minimum noktası aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (0, 4)
- B) (2, 4)
- C) (−1, 0)
- D) (3, 4)
- E) (2, 0)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (2, 0)
f'(x) = 3x(x − 2) türevi x = 2'de − 'den +'ya geçer ve f(2) = 8 − 12 + 4 = 0'dır. (0, 4) noktası yerel maksimum noktasıdır.
Kolay
16Bir öğrenci f(x) = x³ + x fonksiyonunun grafiğini çiziyor ve türevini f'(x) = 3x² + 1 olarak buluyor. Bu grafik için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Yerel tepe ya da çukur noktası yoktur; grafik sürekli yükselir.
- B) x = 0'da bir tepe noktası vardır; grafik sonra alçalır.
- C) x = 0'da bir çukur noktası vardır; grafik sonra yükselir.
- D) Grafik önce alçalır, x = 0'dan sonra sürekli yükselir.
- E) Grafik x eksenini üç farklı noktada keserek ilerler.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Yerel tepe ya da çukur noktası yoktur; grafik sürekli yükselir.
f'(x) = 3x² + 1 her zaman pozitif olduğundan f her yerde artandır ve ekstremumu yoktur. Grafik x eksenini yalnız orijinde keser; üç kesim noktası için türevin işaret değiştirmesi gerekirdi.
Kolay
17Bir f polinom fonksiyonu için her x gerçek sayısında f'(x) > 0'dır. Ayrıca f(0) = −3 ve f(2) = 5'tir. f'nin grafiği x eksenini kaç noktada keser?
- A) 0
- B) 1
- C) 2
- D) 3
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 1
f(0) < 0 ve f(2) > 0 olduğundan kesintisiz olan grafik x = 0 ile x = 2 arasında x eksenini en az bir kez keser. Her yerde f'(x) > 0 olduğundan f daima artandır; artan fonksiyon aynı değeri iki kez alamaz, yani 0 değerini ikinci kez alamaz. Bu yüzden grafik x eksenini tam bir noktada keser.
Kolay
18Bir öğrenci, dördüncü dereceden bir f polinom fonksiyonunun grafiğini türev yardımıyla çizmeye hazırlanıyor. Bu fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının sayısı en çok kaç olabilir?
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 4
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 3
f dördüncü dereceden ise f' üçüncü derecedendir ve en çok üç gerçek kökü olur. Ekstremum noktası ancak türevin kökünde oluşabildiğinden en çok 3 ekstremum noktası vardır. f(x) = x⁴ − 2x² örneğinde üç ekstremum noktası bulunur: x = −1, x = 0 ve x = 1. 4, polinomun derecesi ile türevin derecesi karıştırılınca çıkar.
Orta
19Bir deprem istasyonunda kaydedilen kısa bir sinyal parçası f(x) = x³ − 3x + 1 fonksiyonuyla modelleniyor. Sinyalin sıfır çizgisini kaç kez kestiği, cihazın kaydettiği salınım sayısını belirliyor. f'nin grafiği x eksenini kaç noktada keser?
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 0
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 3
f'(x) = 3x² − 3 = 0 ise x = ±1'dir; yerel maksimum değer f(−1) = 3 > 0, yerel minimum değer f(1) = −1 < 0 olduğundan grafik x eksenini üç noktada keser. 1 seçeneği, yerel ekstremum değerlerinin işaretlerine bakılmadan üçüncü dereceden fonksiyonun tek kök vereceğini sanmaktan doğar.
Orta
20Bir yol mühendisi, bir alt geçidin tavan profilini f(x) = x³ − 12x + 16 fonksiyonuyla modelliyor; x ekseni yol yüzeyidir. Tavan, yol yüzeyine bir noktada dokunup kesmeden geri dönüyor, yani grafik x eksenine teğet oluyor. Grafik x eksenine hangi apsisli noktada teğettir?
- A) 2
- B) −4
- C) −2
- D) 4
- E) 0
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 2
Teğet noktada f(x) = 0 ve f'(x) = 0 birlikte sağlanmalı. f'(x) = 3x² − 12 = 0 ise x = ±2; f(2) = 8 − 24 + 16 = 0, f(−2) = 32 olduğundan teğet nokta x = 2'dir. −4 seçeneği, grafiğin x eksenini kestiği tek katlı kökün teğet nokta sanılmasından doğar; f(x) = (x − 2)²(x + 4)'tür.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.