12. Sınıf Matematik · Türev

Bir Fonksiyonun Yerel Maksimum ve Yerel Minimum ile Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum Noktaları

yerel maksimum
yerel minimum
mutlak maksimum
mutlak minimum
ekstremum noktası
türev
kritik nokta

Yerel ve mutlak maksimum-minimum noktaları türevle nasıl bulunur?

Yerel maksimum ve yerel minimum noktaları, bir fonksiyonun açık bir aralıkta en büyük ve en küçük değeri aldığı noktalardır ve türev yardımıyla bulunur. Mutlak maksimum ve mutlak minimum ise fonksiyonun tanımlı olduğu aralığın tamamındaki en büyük ve en küçük değerlerdir; bu noktalara ekstremum noktaları denir. Türevlenebilir bir fonksiyonun ekstremum noktasında teğet yataydır, yani f'(x₀) = 0 olur. Ancak türevin sıfır olması tek başına yeterli değildir; türev o noktada işaret değiştirmelidir. Türev artıdan eksiye geçiyorsa yerel maksimum, eksiden artıya geçiyorsa yerel minimum vardır. Örneğin f(x) = x² − 4x + 1 için f'(x) = 2x − 4 = 0 eşitliğinden x = 2 bulunur ve yerel minimum değer f(2) = −3 olur. f(x) = x³ fonksiyonunda ise f'(0) = 0 olduğu hâlde ekstremum yoktur. Kapalı [a, b] aralığında mutlak ekstremumlar uç noktalardaki ve kritik noktalardaki değerler karşılaştırılarak bulunur.

Bir Fonksiyonun Yerel Maksimum ve Yerel Minimum ile Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum Noktaları: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, bir fonksiyonun tepe ve çukur noktalarını, yani ekstremum noktalarını, türev yardımıyla bulmayı anlatıyor.

Bir açık aralıkta fonksiyonun aldığı en büyük değerin olduğu nokta yerel maksimum, en küçük değerin olduğu nokta yerel minimum noktasıdır. Bunlara ekstremum noktaları denir.
Tanımlı olduğu aralıkta fonksiyonun en büyük değerini aldığı nokta mutlak maksimum, en küçük değerini aldığı nokta mutlak minimum noktasıdır.
Türevlenebilir bir fonksiyonun ekstremum noktasında teğet yataydır, yani f'(x₀) = 0'dır.
f'(x₀) = 0 olması tek başına yeterli değildir; türev o noktada işaret değiştirmelidir. Örnek: f(x) = x³ için f'(0) = 0'dır ama türev işaret değiştirmez, bu yüzden 0'da ekstremum yoktur.
Türev + 'dan −'ye geçiyorsa yerel maksimum, − 'den +'ya geçiyorsa yerel minimum vardır. Fonksiyonun tanımsız olduğu noktada ekstremum olmaz. Türevin olmadığı kırılma noktası ise ekstremum olabilir.
Örnek: f(x) = x² − 4x + 1 için f'(x) = 2x − 4 = 0 eşitliğinden x = 2 bulunur. Türev − 'den +'ya geçtiği için yerel minimum değer f(2) = −3'tür.
Kapalı bir [a, b] aralığında mutlak ekstremumlar bulunurken uç noktalardaki değerler ve kritik noktalardaki değerler karşılaştırılır.

Unutma: Kapalı aralıkta mutlak maksimum ya da minimum uç noktalarda da olabilir. f(a) ve f(b)'yi hesaplamayı unutma.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Kapalı bir aralıkta en büyük ve en küçük değeri bulmak için iki tür adayı birlikte incele.

f(x) = x³ − 3x fonksiyonunu [−2, 3] aralığında düşün. Türev f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = −1 ve x = 1.
Uç noktalar da adaydır: x = −2 ve x = 3.
Değerleri hesapla: f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(3) = 18.
Mutlak maksimum 18'dir (x = 3'te), mutlak minimum −2'dir (x = −2 ve x = 1'de). x = −1'deki 2 ise yalnız yerel maksimumdur.

Günlük hayattan: Bir yürüyüş rotasında birçok tepe olabilir; her tepe çevresine göre en yüksek nokta (yerel maksimum) olsa da rotanın en yüksek noktası (mutlak maksimum) yalnızca biridir, bazen de rotanın bittiği yerdir.

Sık yapılan hata: Mutlak değerleri yalnızca türevin sıfır olduğu noktalarda aramak. Yukarıdaki örnekte en büyük değer bir uç noktadadır.

Derinleş

Yaşadığın şehrin bir yıllık günlük sıcaklık verilerini (ör. Meteoroloji Genel Müdürlüğü kaynaklarından) incele. Yılın mutlak en yüksek ve en düşük sıcaklıkları ile birkaç yerel tepe ve çukuru belirle. Bir belediye, sıcak hava uyarısı vermek için hangi değeri kullanmalı: mutlak maksimumu mu, yerel tepelerin sıklığını mı? Seçimini gerekçelendir.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.12.4.8Bir fonksiyonun ve onun türev fonksiyonunun matematiksel temsillerine ve
- c) Bir fonksiyonun ve onun türev fonksiyonunun matematiksel temsilleri ve bunlar arasındaki ilişkiye dair genellemeleri ile varsayımlarını karşılaştırır.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir öğrenci, grafik çizim programında f(x) = x³ fonksiyonunu inceliyor. Program, x = 0 noktasında teğetin yatay olduğunu gösteriyor; öğrenci bu noktanın bir tepe ya da çukur olup olmadığını türevin işaretine bakarak belirlemek istiyor. f fonksiyonunun x = 0 noktasıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Türev sıfırdır ama ekstremum yoktur.
- B) Yerel minimum noktasıdır.
- C) Yerel maksimum noktasıdır.
- D) Türev bu noktada pozitiftir.
- E) Mutlak minimum noktasıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Türev sıfırdır ama ekstremum yoktur.
f'(x) = 3x² olduğundan f'(0) = 0'dır; ancak f' x = 0'ın iki yanında da pozitiftir, işaret değiştirmediği için ekstremum yoktur. Yerel minimum seçeneği, türevin sıfır olmasını ekstremum için yeterli saymaktan doğar.
Kolay
2Bir soğuk hava deposunun sıcaklığı, gece yarısına göre saat cinsinden zaman x olmak üzere T(x) = x² + 6x + 2 °C ile modelleniyor (gece yarısından önceki saatler negatif alınıyor). Teknisyen, deponun ulaştığı en düşük sıcaklığı alarm ayarına yazacak. T fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?
- A) −3
- B) 2
- C) −7
- D) −9
- E) 7
Cevabı göster
Doğru cevap: C) −7
T'(x) = 2x + 6 = 0 ise x = −3'tür ve T(−3) = 9 − 18 + 2 = −7 °C bulunur. −3 seçeneği, minimum noktasının apsisinin minimum değer sanılmasından doğar.
Kolay
3Bir yürüyüş rotasının yükseklik profili türevlenebilir bir f fonksiyonuyla modelleniyor. Rehber, rotada x₀ noktasında küçük bir tepenin, yani f'nin x₀'da yerel ekstremumunun bulunduğunu söylüyor. Bu bilgiye göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- A) f(x₀) = 0'dır.
- B) f'(x₀) = 1'dir.
- C) f'(x₀) < 0'dır.
- D) f'(x₀) > 0'dır.
- E) f'(x₀) = 0'dır.
Cevabı göster
Doğru cevap: E) f'(x₀) = 0'dır.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktasında teğet yataydır, yani f'(x₀) = 0'dır. f(x₀) = 0 seçeneği, fonksiyonun değeri ile türevinin değerinin karıştırılmasından doğar; tepenin yüksekliği sıfır olmak zorunda değildir.
Kolay
4Dikey olarak fırlatılan bir model roketin yüksekliği h(t) ile, dikey hızı ise h'(t) ile gösteriliyor. Telemetri kaydına göre h'(t), t₀ anından hemen önce pozitif, hemen sonra negatif değerler alıyor. t₀ anı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) h'nin yerel maksimum noktasıdır.
- B) h'nin yerel minimum noktasıdır.
- C) h'nin ekstremum noktası değildir.
- D) Roketin yere düştüğü andır.
- E) h'nin büküm (dönüm) noktasıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) h'nin yerel maksimum noktasıdır.
Türev bir noktada pozitiften negatife geçiyorsa fonksiyon önce artıp sonra azalır; bu nokta yerel maksimumdur, roket en yükseğe t₀ anında çıkar. Yerel minimum seçeneği, işaret değişiminin yönünü ters yorumlamaktan doğar.
Kolay
5Türevlenebilir bir f fonksiyonunun türevi, x = 2 noktasının solunda pozitif, sağında negatiftir. Buna göre f fonksiyonunun x = 2 noktası için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Bu noktada yerel minimum vardır.
- B) Bu noktada yerel maksimum vardır.
- C) Bu noktada ekstremum yoktur.
- D) Bu noktada fonksiyon tanımsızdır.
- E) Bu noktada mutlak minimum vardır.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Bu noktada yerel maksimum vardır.
Türev + 'dan −'ye geçtiğinde fonksiyon önce artıp sonra azalır, bu da yerel maksimum demektir. Yerel minimum için türevin − 'den +'ya geçmesi gerekir.
Kolay
6Bir oyun parkındaki salıncağın en yüksek noktaya çıkışı f(x) = −x² + 4x + 5 fonksiyonuyla modelleniyor. f fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?
- A) 2
- B) 5
- C) 13
- D) 9
- E) 1
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 9
f'(x) = −2x + 4 = 0 ise x = 2'dir ve f(2) = −4 + 8 + 5 = 9 olur. 2 sayısı maksimumun bulunduğu x değeridir.
Kolay
7Bir sulama kanalındaki suyun bir referans çizgisine göre seviyesi f(x) = x² − 8x + 3 santimetre ile modelleniyor. f fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?
- A) 4
- B) 3
- C) −13
- D) −16
- E) 19
Cevabı göster
Doğru cevap: C) −13
f'(x) = 2x − 8 = 0 ise x = 4'tür; türev burada − 'den +'ya geçer ve yerel minimum değer f(4) = 16 − 32 + 3 = −13 olur. 4, minimumun bulunduğu x değeridir, değeri değildir.
Kolay
8f(x) = 2x³ − 6x fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?
- A) −4
- B) 4
- C) −1
- D) 1
- E) 0
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 4
f'(x) = 6x² − 6 = 0 ise x = ±1'dir; türev x = −1'de + 'dan −'ye geçer ve f(−1) = −2 + 6 = 4 olur. −4 değeri x = 1'deki yerel minimumdur.
Kolay
9f(x) = x² fonksiyonu yalnız [−1, 3] kapalı aralığında inceleniyor. f fonksiyonunun bu aralıktaki mutlak maksimum değeri kaçtır?
- A) 1
- B) 0
- C) 3
- D) 9
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 9
Kritik nokta x = 0'da f(0) = 0, uç noktalarda f(−1) = 1 ve f(3) = 9'dur; en büyüğü 9'dur. 1 değeri yalnız sol uç noktaya bakmaktan gelir.
Kolay
10Bir f fonksiyonunun türevinin işaret tablosu şöyledir: (−∞, −1) aralığında f' pozitif, (−1, 4) aralığında f' negatif, (4, ∞) aralığında f' pozitif. f fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?
- A) x = 4
- B) x = 0
- C) x = 1,5
- D) x = −4
- E) x = −1
Cevabı göster
Doğru cevap: E) x = −1
x = −1'de türev + 'dan −'ye geçtiği için burada yerel maksimum vardır. x = 4'te türev − 'den +'ya geçer, orası yerel minimumdur.
Kolay
11Bir kaykay rampasının profili türevlenebilir bir f fonksiyonuyla modelleniyor ve rampanın en tepe noktası x₀ apsislidir. Bu noktada grafiğe çizilen teğetin eğimi kaçtır?
- A) 1
- B) −1
- C) Tanımsız
- D) x₀
- E) 0
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 0
Türevlenebilir bir fonksiyonun ekstremum noktasında teğet yataydır, yani f'(x₀) = 0'dır. Tanımsız eğim dikey teğete karşılık gelir.
Kolay
12Bir oyun motorunda bir karakterin zıplama eğrisi f(x) = x³ − 12x fonksiyonuyla hesaplanıyor. f fonksiyonunun türevini sıfır yapan x değerleri aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x = 0 ve x = 12
- B) x = −2 ve x = 2
- C) Yalnız x = 2
- D) x = −12 ve x = 12
- E) x = 0 ve x = 2
Cevabı göster
Doğru cevap: B) x = −2 ve x = 2
f'(x) = 3x² − 12 = 0 ise x² = 4, yani x = −2 ve x = 2 bulunur. Yalnız x = 2 seçeneği, karekökün negatif değerini unutmaktan gelir.
Kolay
13Bir f fonksiyonunun türevi için şu bilgiler veriliyor: f'(−2) = 0, f'(1) = 0, f'(3) = 0. Türevin işareti (−∞, −2) aralığında pozitif, (−2, 1) aralığında negatif, (1, 3) aralığında negatif ve (3, ∞) aralığında pozitiftir. f fonksiyonunun kaç tane yerel ekstremum noktası vardır?
- A) 2
- B) 3
- C) 1
- D) 0
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 2
Türev x = −2'de + 'dan −'ye, x = 3'te − 'den +'ya geçer; x = 1'de işaret değişmez. Bu yüzden yalnız iki ekstremum vardır; 3 yanıtı, türevin sıfır olduğu her noktayı ekstremum saymaktan gelir.
Kolay
14Bir meteoroloji istasyonu, bir günün 24 saati boyunca ölçülen sıcaklıkların grafiğini çiziyor. Grafikte gün içinde birkaç küçük tepe noktası var; en yüksek sıcaklık ise öğleden sonra ölçülmüş. Gün boyunca ölçülen en yüksek sıcaklığın bulunduğu nokta grafiğin hangi noktasıdır?
- A) Yerel minimum noktası
- B) Mutlak minimum noktası
- C) x eksenini kestiği nokta
- D) Mutlak maksimum noktası
- E) y eksenini kestiği nokta
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Mutlak maksimum noktası
Fonksiyonun tanımlı olduğu aralıktaki en büyük değerini aldığı nokta mutlak maksimum noktasıdır. Küçük tepeler yerel maksimumdur ama en büyük değer değildir.
Kolay
15Bir bisiklet yolu haritada f(x) = |x − 3| + 1 grafiğiyle gösteriliyor; yol x = 3'te sivri bir dönüş yapıyor. f fonksiyonunun x = 3 noktası için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) x = 3'te türev olmadığından ekstremum yoktur.
- B) x = 3'te yerel maksimum vardır, değeri 1'dir.
- C) x = 3'te yerel minimum vardır, değeri 1'dir.
- D) x = −3'te yerel minimum vardır, değeri 1'dir.
- E) x = 1'de yerel minimum vardır, değeri 3'tür.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) x = 3'te yerel minimum vardır, değeri 1'dir.
Fonksiyon x = 3'ün solunda azalır, sağında artar; bu kırılma noktasında türev yoktur ama yerel minimum değer f(3) = 1'dir. Türevin olmadığı noktalar da ekstremum olabilir.
Kolay
16f(x) = 1/x² fonksiyonu x = 0 noktasında tanımsızdır. Bir öğrenci, grafiğin bu noktanın iki yanında yükseldiğini görüp x = 0'da bir ekstremum olduğunu düşünüyor. Bu düşünce için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Yanlıştır; fonksiyonun tanımlı olmadığı noktada ekstremum olmaz.
- B) Doğrudur; grafik iki yanda yükseldiği için x = 0'da yerel maksimum vardır.
- C) Doğrudur; grafik iki yanda yükseldiği için x = 0'da yerel minimum vardır.
- D) Doğrudur; fonksiyonun en küçük değeri x = 0'da alındığı için mutlak minimumdur.
- E) Yanlıştır; çünkü türev x = 0'da sıfır olduğu için ekstremum olamaz.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Yanlıştır; fonksiyonun tanımlı olmadığı noktada ekstremum olmaz.
Ekstremum noktası fonksiyonun bir değeri olmalıdır; f(0) tanımsız olduğundan x = 0'da ekstremum yoktur. Türevin bu noktada sıfır olduğunu söylemek de yanlıştır, türev de tanımsızdır.
Kolay
17Yanan bir mumun boyu, t. dakikada f(t) santimetredir. [2, 7] aralığında her t için f'(t) < 0'dır; ölçümlere göre f(2) = 9 ve f(7) = 4'tür. f fonksiyonunun [2, 7] aralığındaki mutlak minimum değeri kaçtır?
- A) 2
- B) 4
- C) 5
- D) 7
- E) 9
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 4
Türev aralık boyunca negatif olduğundan f azalandır. Azalan fonksiyon kapalı aralıkta en küçük değerini sağ uçta alır: f(7) = 4. Bu noktada türevin sıfır olması gerekmez; mutlak minimum uç noktada oluşmuştur. 7, değer yerine apsis yazılınca; 9, sol uçtaki değer alınınca; 5 ise iki değerin farkı alınınca bulunur.
Kolay
18Bir öğrenci, tanım kümesi gerçek sayılar olan f(x) = x³ − 3x fonksiyonunun yerel maksimum değerini f(−1) = 2 olarak buluyor. Ardından f(3) = 18 değerini hesaplıyor. f'nin gerçek sayılardaki mutlak maksimumu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Mutlak maksimum yoktur; x büyüdükçe f(x) sınırsız artar.
- B) Mutlak maksimum değeri 2'dir; her yerel maksimum mutlaktır.
- C) Mutlak maksimum değeri 18'dir; bu değer x = 3'te alınır.
- D) Mutlak maksimum değeri 0'dır; grafik orijinden geçer.
- E) Mutlak maksimum değeri −2'dir; türevin kökünde oluşur.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Mutlak maksimum yoktur; x büyüdükçe f(x) sınırsız artar.
f(3) = 18 > 2 olduğundan yerel maksimum değeri fonksiyonun en büyük değeri değildir. f'(x) = 3x² − 3 ifadesi x > 1 için pozitiftir; yani f bu aralıkta artmayı sürdürür ve x büyüdükçe f(x) sınırsız büyür. f(4) = 52 > 18 olduğundan 18 de en büyük değer değildir. Fonksiyonun en büyük değeri yoktur, dolayısıyla mutlak maksimumu yoktur.
Orta
19Bir su parkındaki kaydırağın profili, x metre cinsinden yatay konum olmak üzere f(x) = −2x³ + 6x + 1 metre ile modelleniyor. Güvenlik görevlisi, kaydırağın yerel tepe noktasının yüksekliğini bulup oraya bir uyarı levhası koyacak. f fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?
- A) −3
- B) 1
- C) 7
- D) 3
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 5
f'(x) = −6x² + 6 = 0 ise x = ±1'dir; f' x = 1'de pozitiften negatife geçtiğinden yerel maksimum değer f(1) = −2 + 6 + 1 = 5 olur. −3 seçeneği, x = −1'deki yerel minimum değerin (f(−1) = −3) alınmasından doğar.
Orta
20Bir oyun motoru, karakterin zıplama yüksekliğini veren f fonksiyonunu doğrudan değil, türeviyle saklıyor: f'(x) = x(x − 2)²(x + 3). Geliştirici, grafikte kaç tane tepe ya da çukur oluşacağını önceden bilmek istiyor. f fonksiyonunun kaç tane yerel ekstremum noktası vardır?
- A) 3
- B) 1
- C) 4
- D) 2
- E) 0
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 2
f' yalnızca tek katlı köklerde işaret değiştirir: x = −3 ve x = 0. Çift katlı kök x = 2'de işaret değişmez. Bu yüzden 2 yerel ekstremum vardır. 3 seçeneği, türevi sıfır yapan her noktayı ekstremum saymaktan doğar.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.