12. Sınıf Fizik · Kuvvet ve Hareket
Eylemsizlik Momenti
- eylemsizlik
- dönme ekseni
- kütle dağılımı
- dönme hareketi
- kg · m²
Eylemsizlik momenti nedir ve neye bağlıdır?
Eylemsizlik momenti, dönen bir cismin dönme hareketindeki değişikliğe gösterdiği direncin ölçüsüdür ve dönmeye başlatmanın ya da durdurmanın ne kadar zor olduğunu gösterir. I ile gösterilir, birimi kg · m²'dir; dönme eksenine r uzaklıktaki m kütleli noktasal cisim için I = m · r² olur. Eylemsizlik momenti cismin kütlesine, kütlenin eksene göre nasıl dağıldığına ve eksenin yerine bağlıdır. Kütle eksenden uzakta toplandıkça eylemsizlik momenti büyür; aynı kütleli iki silindirden yarıçapı büyük olan daha zor döndürülür. İçi dolu silindir için I = 1/2 · m · r², homojen küre için I = 2/5 · m · r²'dir. Örneğin 2 kg'lık cisim eksenden 0,5 m uzakta dönüyorsa I = 0,5 kg · m² olur. İp cambazının taşıdığı uzun çubuk eylemsizlik momentini artırarak dengesini korur. Ucundan döndürülen ince çubuğun eylemsizlik momenti, ortasından döndürülenden dört kat büyüktür.
Eylemsizlik Momenti: konu anlatımı ve özeti
Eylemsizlik, kütlenin hareket durumundaki değişikliğe karşı direncidir. Dönen cisimlerde bu direncin ölçüsü eylemsizlik momentidir ve dönmeye başlatmanın ya da durdurmanın ne kadar zor olduğunu gösterir.
- Eylemsizlik momenti I ile gösterilir, birimi kg · m²'dir. Dönme eksenine r uzaklıktaki m kütleli noktasal cisim için I = m · r².
- Eylemsizlik momenti cismin kütlesine, kütlenin dönme eksenine göre nasıl dağıldığına ve eksenin yerine bağlıdır.
- Kütle eksenden uzakta toplandıkça eylemsizlik momenti büyür; aynı kütleli iki silindirden yarıçapı büyük olan daha zor döndürülür ve daha zor durdurulur.
- Bazı düzgün cisimler için: İçi dolu silindir I = 1/2 · m · r², homojen küre I = 2/5 · m · r², ortasından dönen ince çubuk I = 1/12 · m · ℓ², ucundan dönen ince çubuk I = 1/3 · m · ℓ².
- İp cambazının taşıdığı uzun çubuk, eylemsizlik momentini artırarak dengesini korumasına yardım eder.
- Örnek: 2 kg'lık küçük bir cisim eksenden 0,5 m uzakta dönüyorsa I = 2 · 0,5² = 0,5 kg · m² olur. Uzaklık iki katına çıkarsa I dört katına çıkar.
Unutma: Aynı çubuğun eylemsizlik momenti eksenin yerine göre değişir; ucundan döndürülen çubuk, ortasından döndürülenden dört kat daha büyük eylemsizlik momentine sahiptir.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Önce temeli pekiştir
Eylemsizlik momentini "dönmeye karşı tembellik" gibi düşünebilirsin. Bu tembelliği iki şey belirler: ne kadar kütle var ve bu kütle eksenden ne kadar uzakta.
- Dönme eksenini belirle.
- Her kütlenin eksene uzaklığını (r) bul.
- Her parça için m · r² hesapla ve topla.
Örnek: Hafif bir çubuğun iki ucuna 1'er kg'lık ağırlık takılıyor ve çubuk ortasından döndürülüyor. Ağırlıklar eksenden 0,2 m uzaktaysa I = 2 · 1 · 0,2² = 0,08 kg · m², 0,4 m uzaktaysa I = 2 · 1 · 0,4² = 0,32 kg · m² olur. Kütle aynı kaldığı hâlde eylemsizlik momenti 4 katına çıkar.
Günlük hayattan: Kapıyı menteşeye yakın yerden itmek zordur; kapının eylemsizlik momenti aynıdır ama uyguladığın torku küçültmüş olursun.
Sık yapılan hata: "Eylemsizlik momenti yalnızca kütleye bağlıdır." Doğrusu: Aynı kütle eksenden uzaklaştıkça eylemsizlik momenti uzaklığın karesiyle büyür.
Derinleş
Bir çekiç düşün: Onu sapının ucundan tutup sallamak mı, başının yanından tutup sallamak mı daha zordur? Bir kalem ve silgiyle benzer bir deney tasarla ve gözlemini eylemsizlik momentiyle açıkla. Ardından artistik buz pateni, cimnastik ya da dalış gibi bir sporda sporcuların vücut duruşunu nasıl değiştirdiğini araştır ve bu değişimin dönme hareketine etkisini tartış.
Öğrenme çıktıları
Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.
FİZ.12.1.5Eylemsizlik momentine yönelik tümevarımsal akıl yürütebilme
- a) Eylemsizlik momentinin etkilerini birden fazla durumda gözlemler.
- b) Eylemsizlik momentinin bağlı olduğu değişkenler ile ilişkisini bulur.
Sorular
Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.
Kolay
1Bir sirk gösterisinde cambaz, iki direk arasına gerilmiş ince ipin üzerinde elinde uzun ve ağır bir çubukla yürüyor. Çubuğu bıraktığında dengesini çok daha zor koruduğu, küçük bir sarsıntıda gövdesinin hemen yana devrildiği gözleniyor. Cambazın elindeki uzun çubuğun temel işlevi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Toplam kütlesini azaltmak
- B) İpe yaptığı basıncı azaltmak
- C) Eylemsizlik momentini artırmak
- D) Ayaklarındaki sürtünmeyi artırmak
- E) Dönme hızını artırmak
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Eylemsizlik momentini artırmak
Uzun çubuğun kütlesi eksenden uzağa dağıldığı için cambaz ile çubuğun eylemsizlik momenti büyür; devrilme yönündeki dönme yavaşlar ve cambaz düzeltme için zaman kazanır. Çubuk kütle eklediği için toplam kütleyi azaltamaz; ayaktaki sürtünme de yana devrilmeyi engelleyen etken değildir.
Kolay
2Bir fizik öğretmeni, aynı bisiklet tekerleğini önce yavaş, sonra hızlı döndürüp her seferinde frenle durdurmak için gereken çabayı karşılaştırıyor. Ardından tekerleğin jantına kurşun ağırlıklar ekliyor ve ekseni tekerleğin merkezinden kenarına kaydırarak deneyi tekrarlıyor. Tekerleğin eylemsizlik momenti aşağıdakilerden hangisine bağlı değildir?
- A) Tekerleğin kütlesine
- B) Kütlenin eksene göre dağılımına
- C) Dönme ekseninin yerine
- D) Tekerleğin biçimine
- E) Tekerleğin dönme hızına
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Tekerleğin dönme hızına
Eylemsizlik momenti cismin kütlesine, bu kütlenin eksene göre nasıl dağıldığına (biçim de bunu belirler) ve eksenin yerine bağlıdır. Hızlı dönen tekerleği durdurmak daha zor olduğu için dönme hızının da etkili olduğu düşünülebilir; oysa hız açısal momentumu ve enerjiyi artırır, eylemsizlik momentini değiştirmez.
Kolay
3Selin, boş ve kitap yüklü iki döner rafı aynı kuvvetle çevirdiğinde yüklü rafın daha zor hızlandığını ve daha zor durduğunu fark ediyor. Selin'in gözlediği farkı açıklayan nicelik aşağıdakilerden hangisinin ölçüsüdür?
- A) Cismin dönme hareketindeki değişikliğe gösterdiği direncin
- B) Kuvvetin cismi bir eksen etrafında döndürme etkisinin
- C) Cismin eksen etrafında birim zamanda taradığı açının
- D) Cismin öteleme hızında birim zamanda oluşan değişimin
- E) Cismin dönerken sahip olduğu toplam enerji miktarının
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Cismin dönme hareketindeki değişikliğe gösterdiği direncin
Yüklü rafın aynı kuvvetle daha zor hızlanıp daha zor durması, eylemsizlik momentinin daha büyük olmasındandır; eylemsizlik momenti dönme hareketindeki değişime gösterilen direncin ölçüsüdür. Kuvvetin döndürme etkisi ise torkun tanımıdır; raflara aynı kuvvet uygulandığı hâlde tepkileri farklıdır.
Kolay
4Bir saat ustası, sarkaçlı bir duvar saatinin eksenine bağlı ve kütlesi önemsiz kabul edilen uzun bir kolun ucuna 3 kg kütleli küçük bir ağırlık takıyor. Ağırlık dönme ekseninden 2 m uzaklıkta bulunuyor ve noktasal kabul ediliyor. Ağırlığın bu eksene göre eylemsizlik momenti kaç kg · m²'dir?
- A) 6
- B) 18
- C) 36
- D) 12
- E) 24
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 12
Noktasal cismin eylemsizlik momenti I = m · r² = 3 · 2² = 12 kg · m²'dir. 6 yanıtı uzaklığın karesi alınmadığında bulunur; eylemsizlik momenti kütlenin eksene uzaklığının karesiyle orantılıdır.
Kolay
5Dönme eksenine r uzaklıkta bulunan m kütleli noktasal bir cismin eksene göre eylemsizlik momenti aşağıdaki bağıntılardan hangisiyle hesaplanır?
- A) m · r
- B) m² · r
- C) m / r²
- D) m · r²
- E) 1/2 · m · r
Cevabı göster
Doğru cevap: D) m · r²
Noktasal cisim için eylemsizlik momenti I = m · r²'dir; bu nedenle birimi kg · m²'dir. m · r bağıntısı uzaklığın karesini atlar ve birimi de tutmaz.
Kolay
6Bir oyuncak dönme platformunun ekseninden 0,5 m uzağa 4 kg kütleli küçük bir kum torbası konuyor. Torba noktasal kabul edildiğine göre torbanın dönme eksenine göre eylemsizlik momenti kaç kg · m²'dir?
- A) 1
- B) 2
- C) 8
- D) 0,25
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 1
Noktasal cisim için I = m · r² = 4 · 0,5² = 1 kg · m²'dir. 2 değeri uzaklığın karesini almayı unutmakla elde edilir.
Kolay
7Bir bilim merkezindeki döner platformun dönmeye başlatılmasının ve durdurulmasının daha zor olması isteniyor. Bunun için aşağıdakilerden hangisi yapılmalıdır?
- A) Platformu daha hızlı döndürmek
- B) Platformun kenarlarına ağırlık eklemek
- C) Kenardaki yükleri eksene yaklaştırmak
- D) Eksendeki sürtünmeyi azaltmak
- E) Platformu daha yavaş döndürmek
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Platformun kenarlarına ağırlık eklemek
Kenara eklenen kütle eksenden uzakta olduğu için eylemsizlik momentini en çok artırır. Dönme hızını değiştirmek eylemsizlik momentini etkilemez; yükleri eksene yaklaştırmak ise onu azaltır.
Kolay
8Bir evde, menteşeleri aynı yerde kalacak biçimde ahşap kapı sökülüp yerine aynı boyutlarda fakat çok daha ağır bir çelik kapı takılıyor. Ev halkı yeni kapıyı açmaya başlatmanın ve durdurmanın daha zor olduğunu fark ediyor. Bunun nedeni aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Kapının boyutları değiştiği için dönme ekseni yer değiştirmiştir.
- B) Çelik kapının açısal hızı her zaman daha küçüktür.
- C) Kütle arttığı için kapının menteşe eksenine göre eylemsizlik momenti artmıştır.
- D) Kapının kütle merkezi menteşeye yaklaşmıştır.
- E) Çelik, ahşaba göre daha fazla sürtünme uygular.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Kütle arttığı için kapının menteşe eksenine göre eylemsizlik momenti artmıştır.
Boyutlar ve eksen aynı kaldığında eylemsizlik momenti kütleyle doğru orantılıdır; ağır kapı dönmeye daha çok direnç gösterir. Kapının boyutları ve menteşelerin yeri değişmediği için eksen ya da kütle merkezi yer değiştirmemiştir.
Kolay
9Öteleme hareketinde kütle, cismin hızındaki değişime karşı direncinin ölçüsüdür. Dönme hareketinde aynı görevi gören nicelik aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Açısal hız
- B) Tork
- C) Açısal momentum
- D) Merkezcil kuvvet
- E) Eylemsizlik momenti
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Eylemsizlik momenti
Eylemsizlik momenti, cismin dönme hareketindeki değişikliğe gösterdiği direncin ölçüsüdür. Tork ise dönmeyi değiştiren etkidir, direncin ölçüsü değildir.
Kolay
10Can, bir kalemi kendi uzun ekseni çevresinde parmaklarıyla kolayca çevirebildiğini, aynı kalemi ortasından geçen ve kaleme dik olan bir eksen çevresinde döndürmenin ise daha zor olduğunu fark ediyor. Bu farkın nedeni aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Kalemin kütlesi iki durumda farklı olduğu için eylemsizlik momentleri farklıdır.
- B) Kalem uzun ekseni çevresinde daha yavaş döndüğü için eylemsizlik momenti küçüktür.
- C) Kalemin kütlesi uzun eksenine çok yakın dağıldığı için bu eksene göre eylemsizlik momenti küçüktür.
- D) Dik eksen kalemin kütle merkezinden geçmediği için eylemsizlik momenti büyüktür.
- E) Parmakların uyguladığı sürtünme yalnız uzun eksende ortaya çıkar.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Kalemin kütlesi uzun eksenine çok yakın dağıldığı için bu eksene göre eylemsizlik momenti küçüktür.
Aynı cismin eylemsizlik momenti eksene göre değişir; kalemin kütlesi uzun eksene çok yakın olduğundan bu eksene göre I küçüktür. Kütle iki durumda da aynıdır ve dik eksen de ortadan, yani kütle merkezinden geçer.
Kolay
11Kütleleri eşit iki silindirden K kısa ve büyük yarıçaplı, L ise uzun ve küçük yarıçaplıdır. İkisi de kendi simetri ekseni çevresinde döndürülmek isteniyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) K'yi döndürmeye başlatmak ve durdurmak daha zordur.
- B) L'yi döndürmeye başlatmak ve durdurmak daha zordur.
- C) Kütleleri eşit olduğu için ikisi de aynı zorlukta döndürülür.
- D) Uzun olduğu için L'nin eylemsizlik momenti daha büyüktür.
- E) Eylemsizlik momentleri, döndürülme hızlarına göre değişir.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) K'yi döndürmeye başlatmak ve durdurmak daha zordur.
K'nin kütlesi eksenden daha uzakta toplandığı için eylemsizlik momenti daha büyüktür ve dönmeye daha çok direnç gösterir. Kütlelerin eşit olması yeterli değildir; kütlenin eksene göre dağılımı da önemlidir.
Kolay
12Bir mühendis, bir makine parçasının eylemsizlik momentini hesaplamak için gereken bilgileri listeliyor. Aşağıdakilerden hangisi bir cismin eylemsizlik momentini etkilemez?
- A) Cismin kütlesi
- B) Kütlenin dönme eksenine göre dağılımı
- C) Dönme ekseninin konumu
- D) Cismin geometrik şekli
- E) Cismin o anki açısal hızı
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Cismin o anki açısal hızı
Eylemsizlik momenti kütleye, kütlenin eksene göre dağılımına, eksenin yerine ve şekle bağlıdır. Cismin ne kadar hızlı döndüğü eylemsizlik momentini değiştirmez.
Kolay
13Kütlesi 3 kg, uzunluğu 2 m olan ince homojen bir çubuk, ortasından geçen ve kendisine dik olan bir eksen çevresinde döndürülüyor. Çubuğun bu eksene göre eylemsizlik momenti kaç kg · m²'dir? (Ortasından dönen çubuk için I = 1/12 · m · ℓ²)
- A) 4
- B) 6
- C) 12
- D) 0,5
- E) 1
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 1
I = 1/12 · 3 · 2² = 1 kg · m²'dir. 4 değeri çubuğun ucundan dönme bağıntısını (1/3 · m · ℓ²) kullanmakla bulunur.
Kolay
14Lunaparktaki bir dönme oyuncağında koltuk, dönme ekseninden sabit uzaklıktadır. Koltuğa önce 25 kg kütleli bir çocuk, sonra aynı koltuğa 50 kg kütleli bir yetişkin oturuyor. Kişiler noktasal kabul edilirse yetişkinin eksene göre eylemsizlik momenti çocuğunkinin kaç katıdır?
- A) 4
- B) 1
- C) 1/2
- D) 2
- E) 1/4
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 2
Uzaklık aynı kaldığında I = m · r² kütleyle doğru orantılıdır; kütle 2 katına çıkınca eylemsizlik momenti de 2 katına çıkar. 4 cevabı kare ilişkisinin kütleye de uygulandığını sanmaktan gelir.
Kolay
15Bir oyuncak fabrikasında üretilen homojen bir kürenin kütlesi 5 kg, yarıçapı 0,2 m'dir. Kürenin merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti kaç kg · m²'dir? (Homojen küre için I = 2/5 · m · r²)
- A) 0,08
- B) 0,1
- C) 0,2
- D) 0,4
- E) 0,16
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 0,08
I = 2/5 · 5 · 0,04 = 0,08 kg · m² bulunur. 0,1 değeri içi dolu silindirin bağıntısını (1/2 · m · r²) kullanmakla elde edilir.
Kolay
16Eylemsizlik momenti büyük olan bir cisim için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Her zaman daha büyük açısal hızla döner.
- B) Kütlesi her zaman daha büyüktür.
- C) Dönme ekseni her zaman kütle merkezinden geçer.
- D) Dönmeye başlatılması ve durdurulması daha zordur.
- E) Dönmeye başlatılması kolay, durdurulması zordur.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Dönmeye başlatılması ve durdurulması daha zordur.
Eylemsizlik momenti dönme durumundaki değişikliğe direncin ölçüsüdür; bu direnç hem başlatırken hem de durdururken görülür. Eylemsizlik momenti kütlenin dağılımına da bağlı olduğu için kütlesi küçük bir cismin de eylemsizlik momenti büyük olabilir.
Kolay
17Bir çocuk parkındaki atlıkarıncada koltuklar, çapı 6 m olan bir çember üzerine dizilmiştir ve dönme ekseni bu çemberin merkezinden geçer. Koltuklardan birine 30 kg kütleli Ece oturuyor. Ece noktasal kabul edildiğine göre dönme eksenine göre eylemsizlik momenti kaç kg · m²'dir?
- A) 90 kg · m²
- B) 180 kg · m²
- C) 270 kg · m²
- D) 540 kg · m²
- E) 1080 kg · m²
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 270 kg · m²
Noktasal bir cismin eylemsizlik momenti I = m · r² ile bulunur; r, cismin dönme eksenine uzaklığıdır. Çemberin çapı 6 m olduğundan Ece eksenden 3 m uzaktadır: I = 30 · 3² = 270 kg · m². Yarıçap yerine çap kullanılırsa 30 · 6² = 1080, uzaklığın karesi alınmazsa 30 · 3 = 90 bulunur; ikisi de hatalıdır.
Kolay
18Bir beyzbol sopasının kütlesinin büyük bölümü kalın ucunda toplanmıştır. Antrenör, sopayı savurmakta zorlanan küçük oyunculara sopayı sapın en ucundan değil, kalın uca biraz daha yakın bir yerden tutmalarını söylüyor. Savurma sırasında sopa, oyuncunun elleri çevresinde dönüyor. Bu öneri sopayı savurmayı neden kolaylaştırır?
- A) Sopanın kütlesi azaldığı için eylemsizlik momenti küçülür.
- B) Sopanın açısal hızı azaldığı için eylemsizlik momenti küçülür.
- C) Kütle dönme ekseninden uzaklaştığı için eylemsizlik momenti büyür.
- D) Sopanın ağırlığı azaldığı için oyuncunun uyguladığı tork büyür.
- E) Kütle dönme eksenine yaklaştığı için eylemsizlik momenti küçülür.
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Kütle dönme eksenine yaklaştığı için eylemsizlik momenti küçülür.
Eylemsizlik momenti, kütlenin dönme eksenine uzaklığına bağlıdır (noktasal kütle için I = m · r²). Oyuncu sopayı kalın uca daha yakın tuttuğunda dönme ekseni (eller) kütlenin toplandığı bölgeye yaklaşır; parçacıkların eksene uzaklığı azaldığından eylemsizlik momenti küçülür ve sopayı döndürmek kolaylaşır. Sopanın kütlesi ve ağırlığı tutuş yeriyle değişmez; eylemsizlik momenti açısal hıza da bağlı değildir.
Orta
19Bir oyun parkındaki dönme platformunda Ahmet önce eksenden 0,4 m uzakta oturuyor, sonra platformun kenarına, eksenden 1,2 m uzaktaki koltuğa geçiyor. Öğretmeni Ahmet'i noktasal bir kütle gibi düşünerek eksene göre eylemsizlik momentini hesaplıyor. Ahmet'in eksene göre eylemsizlik momenti kaç katına çıkar?
- A) 3
- B) 6
- C) 27
- D) 9
- E) 18
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 9
I = m · r² olduğundan uzaklık 1,2 / 0,4 = 3 katına çıkınca eylemsizlik momenti 3² = 9 katına çıkar. 3 yanıtı, eylemsizlik momentinin uzaklıkla doğru orantılı olduğu yanılgısından doğar.
Orta
20Bir değirmende kullanılan taş, kütlesi 5 kg ve yarıçapı 0,2 m olan içi dolu bir silindir biçimindedir. Taş, simetri ekseni çevresinde döndürülüyor ve teknisyen motoru seçmek için eylemsizlik momentini hesaplıyor. Taşın simetri eksenine göre eylemsizlik momenti kaç kg · m²'dir? (İçi dolu silindir için I = 1/2 · m · r²)
- A) 0,05
- B) 0,1
- C) 0,2
- D) 0,4
- E) 0,5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 0,1
I = 1/2 · m · r² = 1/2 · 5 · 0,2² = 0,1 kg · m². 0,2 yanıtı 1/2 katsayısı unutulduğunda, yani kütlenin tamamı çevrede toplanmış gibi hesap yapıldığında bulunur; içi dolu silindirde kütlenin bir kısmı eksene yakındır.
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.