12. Sınıf Fizik · Kuvvet ve Hareket
Kütle Çekim Potansiyel Enerjisi
- kurtulma enerjisi
- kurtulma hızı
- bağlanma enerjisi
- yörünge
- evrensel çekim sabiti
Kütle çekim potansiyel enerjisi ve kurtulma hızı nedir?
Kütle çekim potansiyel enerjisi, birbirini çeken cisimlerin aralarındaki uzaklığa bağlı olarak sahip olduğu enerjidir ve Ep = − G · M · m / d ile bulunur. Sonsuz uzaklıkta bu enerji sıfır kabul edildiği için değer negatiftir; cisim gezegenden uzaklaştıkça enerji sıfıra doğru artar. Cismi uzaklaştırmak için çekime karşı iş yapmak gerekir. Bir cismi gezegen yüzeyinden sonsuza göndermek için verilmesi gereken en küçük enerjiye kurtulma enerjisi denir; buradan kurtulma hızı v = √(2 · G · M / R) bulunur ve Dünya için yaklaşık 11,2 km/s'dir. Yörüngedeki uydunun toplam enerjisi E = − G · M · m / (2r)'dir. Uyduyu çekim etkisinden kurtarmak için gereken bağlanma enerjisi bu toplam enerjinin mutlak değeri kadardır. Fırlatma rampalarının ekvatora yakın kurulması gereken yakıtı azaltır. Uzaklaşınca enerjinin azaldığını söylemek bir işaret hatasıdır.
Kütle Çekim Potansiyel Enerjisi: konu anlatımı ve özeti
Birbirini çeken cisimler, aralarındaki uzaklığa bağlı bir enerjiye sahiptir; buna kütle çekim potansiyel enerjisi denir. Roketlerin uzaya çıkması ve uyduların yörüngede kalması bu enerjiyle açıklanır.
- Sonsuz uzaklık sıfır kabul edilir; M kütleli gezegenin merkezinden d uzaklıktaki m kütleli cismin potansiyel enerjisi Ep = − G · M · m / d'dir.
- Değer negatiftir ve cisim gezegenden uzaklaştıkça büyür (sıfıra yaklaşır); cismi uzaklaştırmak için çekime karşı iş yapmak gerekir.
- Bir cismi gezegenin yüzeyinden sonsuza göndermek için verilmesi gereken en küçük enerjiye kurtulma enerjisi denir: 1/2 · m · v² = G · M · m / R. Buradan kurtulma hızı v = √(2 · G · M / R) bulunur; Dünya için yaklaşık 11,2 km/s'dir.
- Yörüngede dolanan uydunun toplam enerjisi E = − G · M · m / (2r)'dir. Uyduyu çekim etkisinden kurtarmak için gereken bağlanma enerjisi bu değerin mutlak değeri kadardır.
- Fırlatma rampalarının ekvatora yakın kurulması, Dünya'nın dönüşünden gelen ek hızdan yararlanmayı sağlar ve gereken yakıtı azaltır.
- Örnek: Cisim merkezden R uzaklıktan 2R uzaklığa çıkarılırsa potansiyel enerjisi −G·M·m/R'den −G·M·m/(2R)'ye artar; enerji farkı G·M·m/(2R) kadardır.
Unutma: Kütle çekim potansiyel enerjisi negatiftir; "uzaklaşınca enerji azalır" demek işaret hatasıdır, enerji sıfıra doğru artar.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Önce temeli pekiştir
Kütle çekim potansiyel enerjisini anlamak için "sıfır noktası"nı doğru yere koymak gerekir: Sonsuz uzaklık sıfırdır, gezegene yaklaştıkça enerji eksi değerlere iner.
- Cismin merkeze uzaklığını (d) bul.
- Ep = − G · M · m / d ile hesapla; işaret her zaman eksidir.
- Bir cismi uzaklaştırmak için gereken enerji, son ve ilk potansiyel enerjinin farkıdır.
Örnek: Kurtulma hızı v = √(2 · G · M / R) ile bulunur. Ay için (M ≈ 7,35 · 10²² kg, R ≈ 1,74 · 10⁶ m) bu değer yaklaşık 2,4 km/s'dir; Dünya'nınkinin (11,2 km/s) beşte birinden biraz fazladır. Bu yüzden Ay'dan dönüş için gereken roket, Dünya'dan kalkış için gerekenden çok daha küçüktür.
Sık yapılan hata: "Ep = m · g · h her yükseklikte kullanılabilir." Doğrusu: Bu formül g'nin sabit sayılabildiği yüzeye yakın yüksekliklerde geçerlidir; uydu ve roket hesaplarında − G · M · m / d kullanılır.
Derinleş
Uzay araçlarını farklı gezegenlere gönderirken kullanılan "kütle çekim yardımı" (gravity assist) manevrasını araştır. Voyager ya da başka bir uzay aracının bu yöntemle nasıl hız kazandığını kısaca anlat. Ardından uzay çöpü sorununu araştır: Yörüngede kalan eski uydular ve roket parçaları için hangi önlemler alınmalı, bu sorumluluk kimlere düşer?
Sorular
Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.
Kolay
1Bir roketin motoru kapandıktan sonra, aracın yalnız kazandığı ilk hızla Dünya'nın çekiminden tamamen kurtulup bir daha geri dönmeyeceği bir sınır değer vardır. Mühendisler bu değeri hava direncini önemsemeyerek gezegenin kütlesi ve yarıçapından hesaplıyor. Bir cismin gezegen yüzeyinden çekim etkisinden kurtulabilmesi için sahip olması gereken en küçük hıza ne ad verilir?
- A) Yörünge hızı
- B) Açısal hız
- C) Limit hız
- D) Kurtulma hızı
- E) Ortalama hız
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Kurtulma hızı
Cismin kinetik enerjisinin, yüzeydeki bağlanma enerjisine (G · M · m / R) eşit olduğu hız kurtulma hızıdır: v = √(2 · G · M / R). Yörünge hızı, cismin gezegenin çevresinde çembersel yörüngede dolanması için gereken hızdır ve kurtulma hızından √2 kat küçüktür.
Kolay
2Ay'a ve Mars'a gönderilen araçların fırlatma hesaplarında, Dünya yüzeyinden hava direnci olmadan atılan bir cismin bir daha geri dönmemesi için sahip olması gereken en küçük hız kullanılıyor. Bu hız, alçak yörüngedeki bir uydunun dolanma hızından (yaklaşık 7,9 km/s) daha büyüktür. Dünya yüzeyinden kurtulma hızı yaklaşık kaç km/s'dir?
- A) 7,9
- B) 0,34
- C) 11,2
- D) 3,6
- E) 300
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 11,2
Kurtulma hızı yörünge hızının √2 katıdır: 7,9 · √2 ≈ 11,2 km/s. 7,9 km/s yalnızca alçak yörüngede dolanmak için yeterlidir; bu hızdaki cisim Dünya'nın çevresinde döner ama çekimden kurtulamaz.
Kolay
3Bir planetaryum gösterisinde, gezegenden uzaklaştırılan bir cismin enerjisinin sonsuz uzaklıkta sıfır olduğu, gezegene yaklaştıkça ise negatif değerler aldığı bir grafikle gösteriliyor. Grafiğin yanında M kütleli gezegenin merkezinden d uzaklıktaki m kütleli cisim için kullanılan bağıntı soruluyor. Bu bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) − G · M · m / d²
- B) − G · M · m / d
- C) G · M / d²
- D) m · g · d²
- E) − G · M · m · d
Cevabı göster
Doğru cevap: B) − G · M · m / d
Sonsuz uzaklık sıfır kabul edildiğinde kütle çekim potansiyel enerjisi − G · M · m / d'dir; grafikte gezegene yaklaştıkça değerin daha negatif olması da bunu gösterir. − G · M · m / d² kuvvet bağıntısına benzer; potansiyel enerji uzaklığın karesiyle değil, kendisiyle ters orantılıdır.
Kolay
4Bir uzay sondası, Dünya yüzeyinden kalkıp gezegenler arası yolculuğa çıkarken Dünya'dan giderek uzaklaşıyor. Görev ekibi, sonsuz uzaklıktaki kütle çekim potansiyel enerjisini sıfır kabul ederek sondanın potansiyel enerjisini yolculuk boyunca izliyor. Sonda Dünya'nın merkezinden uzaklaştıkça kütle çekim potansiyel enerjisi nasıl değişir?
- A) Azalarak sıfıra yaklaşır.
- B) Artarak sıfıra yaklaşır.
- C) Değişmez.
- D) Azalarak eksi sonsuza gider.
- E) Artarak artı sonsuza gider.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Artarak sıfıra yaklaşır.
Potansiyel enerji E = − G · M · m / d bağıntısıyla negatiftir; d büyüdükçe değerin mutlak büyüklüğü küçülür, yani enerji artarak sıfıra yaklaşır. Artı sonsuza gideceğini düşünmek, yüzeye yakın yerde geçerli m · g · h bağıntısını büyük uzaklıklara genellemekten doğar.
Kolay
5M kütleli bir gezegenin merkezinden R uzaklıktaki bir cismin kütle çekim potansiyel enerjisi − E'dir. Aynı cisim merkezden 2R uzaklığa götürülürse potansiyel enerjisi ne olur?
- A) − E/4
- B) − 2E
- C) − E/2
- D) E/2
- E) − E
Cevabı göster
Doğru cevap: C) − E/2
Ep uzaklıkla ters orantılıdır (karesiyle değil); uzaklık 2 katına çıkınca Ep − E/2 olur. − E/4 cevabı kuvvetteki ters kare ilişkisini enerjiye uygulamaktan gelir.
Kolay
6M kütleli, R yarıçaplı bir gezegenin yüzeyinden m kütleli bir cismi sonsuza göndermek için verilmesi gereken en küçük kinetik enerjiyi gösteren eşitlik aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 1/2 · m · v² = G · M · m / R²
- B) m · v = G · M · m / R
- C) 1/2 · m · v² = m · g · R²
- D) 1/2 · m · v² = G · M · m / R
- E) m · v² = G · M / R²
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 1/2 · m · v² = G · M · m / R
Kurtulma için kinetik enerji, yüzeydeki potansiyel enerjinin mutlak değerine eşit olmalıdır: 1/2 · m · v² = G · M · m / R. Paydada R² kullanmak kuvvet ile enerjiyi karıştırmaktır.
Kolay
7Bir roket motoru kapandıktan sonra hiç yakıt harcamadan Dünya'nın çekiminden kurtulabilmesi için Dünya yüzeyinden kazanması gereken en küçük hızın yaklaşık değeri aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 1,12 km/s
- B) 112 km/s
- C) 9,8 km/s
- D) 11,2 km/s
- E) 300 000 km/s
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 11,2 km/s
Dünya için kurtulma hızı yaklaşık 11,2 km/s'dir. 9,8 değeri yer çekimi ivmesinin m/s² cinsinden değeriyle karıştırmaktan, 300 000 km/s ise ışık hızıyla karıştırmaktan gelir.
Kolay
8Sonsuz uzaklıktaki potansiyel enerji sıfır kabul ediliyor. M kütleli bir gezegenin merkezinden d uzaklıkta bulunan m kütleli bir cismin kütle çekim potansiyel enerjisi aşağıdakilerden hangisidir? (G: evrensel çekim sabiti)
- A) G · M · m / d
- B) − G · M · m / d²
- C) G · M · m · d
- D) − G · M · m / d
- E) − G · M / d²
Cevabı göster
Doğru cevap: D) − G · M · m / d
Kütle çekim potansiyel enerjisi Ep = − G · M · m / d'dir; uzaklıkla ters orantılıdır ve negatiftir. − G · M · m / d² ifadesi enerji değil, kuvvetin büyüklüğüne benzeyen bir ifadedir.
Kolay
9Bir sondanın gezegen yüzeyindeki kütle çekim potansiyel enerjisi − 6 · 10⁸ J olarak hesaplanıyor. Sondanın gezegenin çekiminden kurtulup sonsuza gidebilmesi için yüzeyde sahip olması gereken en küçük kinetik enerji kaç J'dür?
- A) 3 · 10⁸
- B) 12 · 10⁸
- C) 6 · 10⁸
- D) − 6 · 10⁸
- E) 0
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 6 · 10⁸
Sonsuzda toplam enerji en az sıfır olmalıdır; bu yüzden kinetik enerji en az 6 · 10⁸ J olmalıdır. Kinetik enerji negatif olamayacağı için − 6 · 10⁸ J anlamsızdır.
Kolay
10Sonsuz uzaklık sıfır kabul edildiğinde Dünya yüzeyinde duran bir kayanın kütle çekim potansiyel enerjisinin işareti için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Pozitiftir.
- B) Sıfırdır.
- C) Kayanın kütlesine göre pozitif ya da negatif olabilir.
- D) Kayanın yerden yüksekliğine göre her zaman pozitiftir.
- E) Negatiftir.
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Negatiftir.
Sıfır noktası sonsuzda seçildiğinde Ep = − G · M · m / d bağıntısı her sonlu uzaklıkta negatif değer verir. Cismi sonsuza götürmek için çekime karşı iş yapılması gerektiği için enerjisi sıfırın altındadır.
Kolay
11M kütleli, R yarıçaplı bir gezegenin yüzeyinden kurtulma hızı aşağıdaki bağıntılardan hangisiyle hesaplanır? (G: evrensel çekim sabiti)
- A) √(G · M / R)
- B) 2 · G · M / R
- C) √(2 · G · M / R²)
- D) G · M / R²
- E) √(2 · G · M / R)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) √(2 · G · M / R)
1/2 · m · v² = G · M · m / R eşitliğinden v = √(2 · G · M / R) bulunur. √(G · M / R) ise yüzeye yakın çembersel yörüngede dolanma hızıdır, kurtulma hızı değildir.
Kolay
12Aynı gezegenin merkezinden aynı uzaklıkta bulunan iki sondadan K'nin kütlesi L'ninkinin 2 katıdır. K'nin kütle çekim potansiyel enerjisinin büyüklüğü L'ninkinin kaç katıdır?
- A) 1
- B) 4
- C) 2
- D) 1/2
- E) 1/4
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 2
Ep = − G · M · m / d bağıntısında uzaklık aynıyken potansiyel enerjinin büyüklüğü sondanın kütlesiyle doğru orantılıdır; oran 2'dir. Kütle çekim ivmesi kütleden bağımsızdır, ama enerji değildir.
Kolay
13Kütle çekim potansiyel enerjisi hesaplarında potansiyel enerjinin sıfır kabul edildiği yer aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Gezegenden sonsuz uzaklık
- B) Gezegenin yüzeyi
- C) Gezegenin merkezi
- D) Deniz seviyesi
- E) Yüzeyden bir yarıçap yükseklik
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Gezegenden sonsuz uzaklık
Ep = − G · M · m / d bağıntısında d sonsuza giderken Ep sıfıra yaklaşır; bu yüzden sıfır noktası sonsuz uzaklıktır. Yüzeyi sıfır almak, yere yakın hareketlerde kullanılan m · g · h yaklaşımına aittir.
Kolay
14M kütleli bir gezegenin çevresinde r yarıçaplı çembersel yörüngede dolanan m kütleli bir uydunun toplam (kinetik + potansiyel) enerjisi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) − G · M · m / r
- B) G · M · m / (2r)
- C) − 2 · G · M · m / r
- D) − G · M · m / (2r)
- E) G · M · m / r
Cevabı göster
Doğru cevap: D) − G · M · m / (2r)
Uydunun kinetik enerjisi G · M · m / (2r), potansiyel enerjisi − G · M · m / r'dir; toplamı − G · M · m / (2r) olur. − G · M · m / r yalnız potansiyel enerjidir.
Kolay
15Aynı kütleli K ve L uyduları aynı gezegenin çevresinde bulunuyor; K merkezden R, L ise 3R uzaklıktadır. K'nin kütle çekim potansiyel enerjisi L'ninkinin kaç katıdır?
- A) 1/3
- B) 9
- C) 3
- D) 1/9
- E) 1
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 3
Ep = − G · M · m / d olduğundan Ep_K / Ep_L = (1/R) / (1/3R) = 3 olur; K'nin enerjisi 3 kat daha negatiftir. 9 cevabı ters kare ilişkisini kullanmaktan gelir.
Kolay
16Uzaydan gelen bir göktaşı, hava direnci önemsiz kabul edilerek Dünya'ya doğru düşüyor. Göktaşı Dünya'ya yaklaştıkça enerjileri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Potansiyel enerjisi azalır, kinetik enerjisi artar.
- B) Potansiyel enerjisi artar, kinetik enerjisi azalır.
- C) Potansiyel ve kinetik enerjisi birlikte artar.
- D) Potansiyel enerjisi sıfırda kalır, kinetik enerjisi artar.
- E) İki enerjisi de değişmez.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Potansiyel enerjisi azalır, kinetik enerjisi artar.
Göktaşı yaklaştıkça Ep daha negatif olur, yani azalır; azalan potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüşür. Toplam mekanik enerji korunur.
Kolay
17Bir sondanın görev bilgisayarı, sonsuz uzaklıktaki potansiyel enerjiyi sıfır kabul ederek sondanın bir gezegene göre kütle çekim potansiyel enerjisini hesaplıyor: K konumunda − 8 · 10⁹ J, L konumunda − 2 · 10⁹ J. L konumunun gezegenin merkezine uzaklığı, K konumununkinin kaç katıdır?
- A) 1/4
- B) 1/2
- C) 2
- D) 4
- E) 16
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 4
Ep = − G · M · m / d olduğundan potansiyel enerjinin büyüklüğü merkezden uzaklıkla ters orantılıdır. L konumunda enerjinin büyüklüğü K'dekinin 2 / 8 = 1/4'ü olduğuna göre L, merkeze K'den 4 kat uzaktadır. Enerjisi sıfıra daha yakın (daha az negatif) olan konum gezegenden daha uzaktır; 1/4 sonucu bu ilişkiyi ters kurmaktan, 2 sonucu ise enerjiyi uzaklığın karesiyle ters orantılı sanmaktan çıkar (bu ilişki kuvvet için geçerlidir).
Kolay
18Bir uzay ajansının eğitim notlarında iki durum anlatılıyor. I. durumda bir sonda gezegenin yüzeyinde duruyor ve gezegenin çekim etkisinden tümüyle kurtarılmak isteniyor. II. durumda bir uydu gezegenin çevresindeki yörüngede dolanıyor ve çekim etkisinden tümüyle kurtarılmak isteniyor. Bu durumlarda cisme verilmesi gereken en küçük enerjiler sırasıyla nasıl adlandırılır?
- A) I: kurtulma enerjisi; II: bağlanma enerjisi
- B) I: bağlanma enerjisi; II: kurtulma enerjisi
- C) I: kurtulma enerjisi; II: dönme kinetik enerjisi
- D) I: potansiyel enerji; II: kurtulma enerjisi
- E) I: bağlanma enerjisi; II: potansiyel enerji
Cevabı göster
Doğru cevap: A) I: kurtulma enerjisi; II: bağlanma enerjisi
Bir cismi gezegenin yüzeyinden çekim alanının dışına çıkarmak için verilmesi gereken en küçük enerjiye kurtulma enerjisi denir. Gezegenin çevresinde yörüngede dolanan bir cismi çekim etkisinden kurtarmak için verilmesi gereken en küçük enerji ise bağlanma enerjisidir; bu enerji, yörüngedeki cismin toplam enerjisini sıfıra çıkaran enerjidir. Potansiyel enerji cismin konumundan dolayı sahip olduğu enerjidir, cisme verilmesi gereken enerjinin adı değildir.
Orta
19Fransız Guyanası'ndaki Kourou ve ABD'nin Florida'daki Cape Canaveral üsleri gibi pek çok fırlatma üssü ekvatora yakın yerlerde kurulmuştur. Roketler bu üslerden çoğunlukla doğu yönünde fırlatılır ve aynı yükü yörüngeye taşımak için daha az yakıt harcar. Fırlatma üslerinin ekvatora yakın kurulmasının temel avantajı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Dünya'nın dönüşünden gelen ek hızdan yararlanılması
- B) Ekvatorda çekim ivmesinin en büyük olması
- C) Ekvatorda atmosferin hiç bulunmaması
- D) Ekvatorda Dünya'nın manyetik alanının sıfır olması
- E) Ekvatorda kurtulma hızının sıfıra yakın olması
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Dünya'nın dönüşünden gelen ek hızdan yararlanılması
Dünya batıdan doğuya döndüğü için ekvatordaki bir nokta yaklaşık 0,46 km/s çizgisel hıza sahiptir; doğuya fırlatılan roket bu hızı başlangıçta kazanır. Çekim ivmesi ekvatorda en büyük değil, en küçüktür; bu seçenek doğru olsaydı fırlatma daha da zorlaşırdı.
Orta
20M kütleli, R yarıçaplı bir gezegenin merkezinden 2R uzaklıktaki çembersel yörüngede m kütleli bir hava gözlem uydusu dolanıyor. Görev süresi bitince uydunun gezegenin çekiminden tamamen çıkarılıp uzaya gönderilmesi planlanıyor; G · M · m / R = E kısaltması kullanılıyor. Uyduyu gezegenin çekim etkisinden kurtarmak için gereken bağlanma enerjisi kaç E'dir?
- A) E / 4
- B) E / 2
- C) E
- D) 2E
- E) E / 8
Cevabı göster
Doğru cevap: A) E / 4
Çembersel yörüngede kinetik enerji G · M · m / (2 · 2R) = E / 4, potansiyel enerji − E / 2'dir; toplam enerji − E / 4 olur. Uyduyu sıfır enerjiye çıkarmak için E / 4 enerji gerekir. E / 2 yanıtı uydunun yörüngedeki kinetik enerjisini hesaba katmamaktır.
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.